Сократите дробь $\cfrac{75^{n}}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}}$ .

Решение: $\cfrac{75^{n}}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}}=\cfrac{(5^2)^n \cdot 3^n}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}}=5^{2n-(2n-1)} \cdot 3^{n-(n-2)}=5^{2n-2n+1} \cdot 3^{n-n+2}=5 \cdot 9=45$

Из $A$ в $B$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $48$км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на $32$км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Решение: Пусть $x\, км/ч -$скорость 1-го автомобилиста Тогда $x+32\, км/ч -$скорость 2-го автомобилиста Пусть $у$ $км$ $-$ половина пути $t=\cfrac{S}{v}$ $\cfrac{y}{x+32}+\cfrac{y}{48}=\cfrac{2y}{x}$ Поделим на $y\neq 0$ $\cfrac{2}{x}=\cfrac{1}{x+32}+\cfrac{1}{48}$ $x^2-16x-3072=0$ $D=256 + 12288=12544$ $x_1=-48$$-$ не удовлетворяет условию задачи $x_2=64$ Ответ: 64

Постройте график функции $y = \cfrac{|x| - 1}{ |x| - x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Раскроем модуль по правилу раскрытия модуля: 1) При $x\ge 0$ ОДЗ: $x-x^{2}\not=0$ $x\left( 1-x \right)\not=0$ $x\not=0$ и $x\not=1$ Упростим выражение: $\dfrac{x-1}{x-x^{2}}=\dfrac{x-1}{-x(x-1)}=-\dfrac{1}{x}$ $y=-\frac{1}{x}$$-$гипербола $x$ | $1$ | $2$ | $0,5$ | $4$ | $0,25$ $y$ | $-1$ | $-0,5$ | $-2$ | $-0,25$ | $-4$ 2) При $x\lt 0$ ОДЗ: $-x-x^{2}\not=0$ $-x\left( 1+x \right)\not=0$ $x\not=0$ и $x\not=-1$ $\dfrac{-x-1}{-x-x^{2}}=\dfrac{-x-1}{x(-1-x)}=\dfrac{1}{x}$ $-$гипербола $х$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $-0,5$ | $-0,25$ $у$ | $-1$ | $-0,5$ | $-0,25$ | $-2$ | $-4$ Прямая $y=kx$ не имеет с графиком ни одной общей точки если: проходит через точку $(1;-1)$ $k= -1$ проходит через точку $(-1; -1)$ $-1=k\cdot (-1)$ $k=1$ при $k=0$прямая совпадает с $Ох$ Ответ: $k= -1; k=1; k=0$

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD=48, BC=16, CF:DF=5:3$.

Дано: $ABCD -$ трапеция $AD=48$ $BC=16$ $CF:DF =5:3$ Найти: $EF - ?$ Решение: Пусть $CF = 5x$, тогда $DF = 3x$ Проведем $ВН||CD$ $AH = AD - BC = 48 - 16 = 32$ $BH = 5x + 3x = 8x$ $\triangle EBK$ и $\triangle ABH$: $\angle B$ $-$общий $\angle BAH, \angle BEK$ $-$соответственные $\Rightarrow \triangle EBK \sim \triangle ABH$ $\cfrac{EK}{AH} = \cfrac{BK}{BH}$ $\cfrac{EK}{32} = \cfrac{5x}{8x}$ $EK = \cfrac{32 \cdot 5}{8} = 20$ $EF = EK + KF = 20 + 16 = 36$ Ответ: $36$

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

Доказательство: Дано: $ABCD$ - параллелограмм $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$ $O \in LN$ $LN$ пересекает $BC$ в т. $L$ $LN$ пересекает $AD$ в т. $N$ Доказать: $CL=AN$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle CLO$ и $\triangle ANO$ $\angle COL = \angle AON$ - вертикальные $AO=OC$ - св-во параллелограмма $\angle OAN = \angle OCL$ - накрест лежащие при $BC//AD$ и секущей AC $\Rightarrow \triangle AON = \triangle COL$ - по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам $\Rightarrow CL=AN$ - соответственные элементы, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 24 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 152162 балла
Выражения
Сократите дробь $\cfrac{75^{n}}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}}$ .
id 152172 балла
Задачи на движение по прямой
Из $A$ в $B$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $48$ км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на $32$ км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
id 152182 балла
Обратная пропорциональность
Постройте график функции $y = \cfrac{|x| - 1}{ |x| - x^2}$ . Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
id 152192 балла
Трапеция
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$ , пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ , если $AD=48, BC=16, CF:DF=5:3$ .
id 152202 балла
Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.