Банк заданий
ОГЭ по математике

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $4$ и $15$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $21$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $8$ и $30$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $18$ и $40$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $AMK$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $ABK$ к площади четырёхугольника $KPCM$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади четырёхугольника $KPCM$ к площади треугольника $AMK$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади четырёхугольника $KPCM$.

В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KM = 4 : 1$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KM = 2 : 11$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $ABC$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$. Найдите углы треугольника $ABC$, если углы треугольника $MKP$ равны $39^\circ$, $78^\circ$ и $63^\circ$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$. Найдите углы треугольника $ABC$, если углы треугольника $MKP$ равны $48^\circ$, $68^\circ$ и $64^\circ$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$. Найдите углы треугольника $ABC$, если углы треугольника $MKP$ равны $62^\circ$, $57^\circ$ и $61^\circ$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $12$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $4$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $9$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $11$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $8$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $12$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $20$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $28$.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$ и вдвое больше боковой стороны $CD$. Угол $ADC$ равен $60^\circ$, сторона $AB$ равна $6$. Найдите площадь трапеции.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$ и вдвое больше боковой стороны $CD$. Угол $ADC$ равен $60^\circ$, сторона $AB$ равна $2$. Найдите площадь трапеции.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$ и вдвое больше боковой стороны $CD$. Угол $ADC$ равен $60^\circ$, сторона $AB$ равна $4$. Найдите площадь трапеции.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$ и вдвое больше боковой стороны $CD$. Угол $ADC$ равен $60^\circ$, сторона $AB$ равна $6$. Найдите площадь трапеции.