Банк заданий
ОГЭ по математике

Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $27$, тангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{9}{40}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $45$, тангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{3}{4}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $8$, тангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{4}{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 40$, $BC = 45$ и $CD = 24$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 15$, $BC = 40$ и $CD =12$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 38$, $BC = 34$ и $CD = 19$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 48$, $BC = 28$ и $CD = 24$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $7 : 6$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $48$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $26 : 1$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $7$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $3 : 1$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $41$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $7 : 2$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $16$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $36$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $28$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $31$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $16$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 10$ и $MB = 18$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 17$ и $MB = 19$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 12$ и $MB = 18$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 11$ и $MB = 16$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $22$ и $99$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $38$ и $46$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $40$ и $42$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $24$ и $27$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $12$. Окружность радиуса $9$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $10$. Окружность радиуса $6$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.