Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки \(A\) (см. рисунок). В точке касания \(B\) наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом \(R=0,4~\mathrm{м}\). Если в точке \(A\) скорость шайбы превосходит \(v_0=4~\mathrm{м/с}\), то в точке \(B\) шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости \(AB=L=1~\mathrm{м}\), угол \(\alpha=30^\circ\). Найдите коэффициент трения \(\mu\) между наклонной плоскостью и шайбой. Какие законы Вы использовали в данной задаче? Обоснуйте их применение.

По второму закону Ньютона в момент отрыва шайбы (\(N_B=0\)): \(Oy:~-ma_{ц}=-mg\cos \alpha\) \(a_{ц}=g\cos \alpha\) Центростремительное ускорение: \(a_{ц}=\frac{v^2}{R}\) \(\frac{v^2}{R}=g\cos \alpha\) Скорость шайбы в точке \(B\): \(v=\sqrt{gR\cos \alpha}\) Рассмотрим силы, действующие на шайбу при движении по наклонной плоскости: \(Oy:~N-mg\cos \alpha=0\Rightarrow N=mg\cos \alpha\) Сила трения: \(F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha\) \(Ox:~-F_{тр}-mg \sin \alpha=-ma~|\cdot \left (-1\right )\) \(\mu mg \cos \alpha+mg \sin \alpha=ma\Rightarrow a=g\left (\sin \alpha+\mu \cos \alpha \right )\) Проекция перемещения шайбы при равноускоренном движении: \(S_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2a_x};~L=\frac{v^2-v_0^2}{-2a}=\frac{v_0^2-v^2}{2a}=\frac{v_0^2-gR\cos \alpha}{2g\left (\sin \alpha+\mu \cos \alpha \right )}\) \(\sin \alpha+\mu \cos \alpha=\frac{v_0^2-gR\cos \alpha}{2gL}\) Коэффициент трения: \(\mu=\frac{1}{\cos \alpha}\left (\frac{v_0^2-gR\cos \alpha}{2gL}-\sin \alpha \right )\) Подставим числа: \(\mu=\frac{1}{\cos 30^\circ}\cdot \left (\frac{4^2-10\cdot 0,4\cdot \cos 30^\circ}{2\cdot 10\cdot 1}-\sin 30^\circ \right )=0,146\) Ответ: 0,146 Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Используем модель материальной точки, так как шайба движется поступательно. 3) Распишем для шайбы второй закон Ньютона. 4) В точке \(B\) из-за отрыва шайбы от опоры следует, что \(N_B=0\). 5) Распишем закон равноускоренного движения шайбы по оси \(Ox\).

Автомобиль движется по прямой улице, параллельной оси \(Ox\). На графике представлена зависимость проекции \(v_x\) его скорости от времени \(t\). Определите проекцию \(a_x\) ускорения автомобиля в интервале времени от \(20\) до \(30\) с. Ответ дайте в м/с\(^2\).

Проекция ускорения автомобиля: \(a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{0-10}{10}=-1~м/c^2\)

Два маленьких шарика массой \(m\) каждый, расстояние между центрами которых равно \(r\), притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю \(F_1=0,24~\mathrm{пН}\). Каков модуль сил гравитационного взаимодействия \(F_2\) двух других шариков, если масса одного из них равна \(2m\), масса другого \(\frac{m}{3}\), а расстояние между их центрами равно \(2r\)? Ответ дайте в \(\mathrm{пН}\).

Модуль сил гравитационного взаимодействия шариков в каждом из случаев: \(F_1=G\frac{m\cdot m}{r^2}\) \(F_2=G\frac{2m\cdot \frac{m}{3}}{\left (2r\right )^2}=\frac{2}{3\cdot 2^2}F_1=\frac{1}{6}F_1=\frac{1}{6}\cdot 0,24=0,04~\mathrm{пН}\)

У основания гладкой наклонной плоскости шайба массой \(10~\mathrm{г}\) обладает кинетической энергией \(0,04~\mathrm{Дж}\). Определите максимальную высоту, на которую шайба может подняться по плоскости относительно основания. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ дайте в \(\mathrm{м}\).

По закону сохранения энергии: \(E_{\mathrm{к}}=mgh\) Искомая высота: \(h=\frac{E_{\mathrm{к}}}{mg}=\frac{0,04}{0,01\cdot 10}=0,4~\mathrm{м}\)

На вертикальную стенку опирается однородный стержень \(AB\), масса которого равна \(12\) кг, а длина \(200\) см. Определите момент силы тяжести, действующей на стержень, относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку \(A\), если сторона \(OB\) равна \(140\) см. Ответ дайте в \(Н\cdot м\).

Из подобия треугольников \(OAB\) и \(APK\): \(\frac{OB}{AB}=\frac{AP}{AK};~\frac{OB}{l}=\frac{d}{l/2}\Rightarrow d=\frac{1}{2}OB\) Момент силы тяжести относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку \(A\): \(M=mgd=mg\cdot \frac{1}{2}OB=12\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot 1,4=84~Н\cdot м\)