Банк заданий
ОГЭ по математике Задание №25 Геометрическая задача повышенной сложности

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 90$, $MD = 69$, $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 63$, $MD = 21$, $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 8$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $129^\circ$ и $96^\circ$.

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 9$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $116^\circ$ и $94^\circ$.

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 10$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $112^\circ$ и $113^\circ$.

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 12$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $115^\circ$ и $95^\circ$.

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 11$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $126^\circ$ и $99^\circ$.

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 14$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $110^\circ$ и $100^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 43$ и $CD = 4$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 11$ и $CD = 41$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 39$ и $CD = 6$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 40$ и $CD = 10$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 44$ и $CD = 8$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 34$ и $CD = 22$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$ и $11$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{6}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $4$ и $15$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $21$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $8$ и $30$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $18$ и $40$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $AMK$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $ABK$ к площади четырёхугольника $KPCM$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади четырёхугольника $KPCM$ к площади треугольника $AMK$.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади четырёхугольника $KPCM$.

В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KM = 4 : 1$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KM = 2 : 11$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $ABC$.