Банк заданий
ОГЭ по математике Задание №25 Геометрическая задача повышенной сложности

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $7 : 2$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $16$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $36$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $28$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $31$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $16$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 10$ и $MB = 18$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 17$ и $MB = 19$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 12$ и $MB = 18$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 11$ и $MB = 16$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $22$ и $99$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $38$ и $46$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $40$ и $42$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Две касающиеся внешним образом в точке $K$ окружности, радиусы которых равны $24$ и $27$, вписаны в угол с вершиной $A$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $K$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $12$. Окружность радиуса $9$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $10$. Окружность радиуса $6$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $8$. Окружность радиуса $5$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $16$. Окружность радиуса $12$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

В выпуклом четырёхугольнике $NPQM$ диагональ $NQ$ является биссектрисой угла $PNM$ и пересекается с диагональю $PM$ в точке $S$. Найдите $NS$, если известно, что около четырёхугольника $NPQM$ можно описать окружность, $PQ = 44$, $SQ = 22$.

В выпуклом четырёхугольнике $NPQM$ диагональ $NQ$ является биссектрисой угла $PNM$ и пересекается с диагональю $PM$ в точке $S$. Найдите $NS$, если известно, что около четырёхугольника $NPQM$ можно описать окружность, $PQ = 86$, $SQ = 43$.

В выпуклом четырёхугольнике $NPQM$ диагональ $NQ$ является биссектрисой угла $PNM$ и пересекается с диагональю $PM$ в точке $S$. Найдите $NS$, если известно, что около четырёхугольника $NPQM$ можно описать окружность, $PQ =92$, $SQ = 16$.

В выпуклом четырёхугольнике $NPQM$ диагональ $NQ$ является биссектрисой угла $PNM$ и пересекается с диагональю $PM$ в точке $S$. Найдите $NS$, если известно, что около четырёхугольника $NPQM$ можно описать окружность, $PQ = 76$, $SQ = 4$.

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $16$ и $34$, а основание $BC$ равно $2$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.