В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 25$, $\sin A = \frac{3}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Проведём высоту BH: В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\sin A = \frac{BH}{AB} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{BH}{25} \Rightarrow BH = 3 \cdot 5 = 15$ По теореме Пифагора: $AH^2 = AB^2 - BH^2$ $AH^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400 \Rightarrow AH = 20$ В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому $AC = 2 AH = 2 \cdot 20 = 40$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$. $S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300$

Найдите площадь ромба, если его высота равна 24, а острый угол равен 30°.

Введём обозначения: В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30°$, значит, катет $BC$ равен половине гипотенузы $AB$. Тогда: $AB = 2BC = 2 \cdot 24 = 48$ У ромба все стороны равны, значит, $AC = AB = 48$. Площадь ромба найдем по формуле $S = ah$: $S = 48 \cdot 24 = 1152$

Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ящик имеет форму куба без одной грани. Куб имеет 6 граней, значит у ящика 5 граней, которые нужно покрасить. Площадь одной грани $s = a^2 = 20^2 = 400 \; см^2$. Площадь всей поверхности, которую нужно покрасить $S = 5s = 5 \cdot 400 = 2000 \; см^2$.

В треугольнике $ABC$ угол $С$ равен 90°, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{19}$. Найдите $\cos B$.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Тогда $\cos B = \frac{BC}{AB}$ Из теоремы Пифагора $BC^2 = AB^2 - AC^2$ $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - (2\sqrt{19})^2} = \sqrt{400 - 4 \cdot 19} = \sqrt{400 - 76} = \sqrt{324} = 18$ Следовательно, $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{18}{20} = 0,9$

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $16$, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим один такой треугольник: Здесь $AC=16,\; AB=BC=17$, $BH$ - высота и медиана (следовательно, $AH=HC=8$). В треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора найдем $BH$: $BH=\sqrt{AB^{2} -AH^{2}} =\sqrt{17^{2} -8^{2}} =15$ Площадь $ABC$: $S=\frac{1}{2} AC\cdot BH=\frac{1}{2} \cdot 16\cdot 15=120$. Площадь боковой поверхности пирамиды: $3S=3\cdot 120=360$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по базовой математике, стр. 98 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, базовой математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 126781 балл
Треугольники. Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 25$ , $\sin A = \frac{3}{5}$ .
Найдите площадь треугольника $ABC$ .
id 126791 балл
Параллелограммы
Найдите площадь ромба, если его высота равна 24, а острый угол равен 30°.
id 126821 балл
Площадь поверхности
Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
id 126831 балл
Треугольники. Равнобедренный треугольник
В треугольнике $ABC$ угол $С$ равен 90°, $AB = 20$ , $AC = 2\sqrt{19}$ . Найдите $\cos B$ .
id 127001 балл
Пирамида
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $16$ , а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.