Прямая \(AD\), перпендикулярная медиане \(BM\) треугольника \(ABC\), делит её пополам. Найдите сторону \(AC\), если сторона \(AB\) равна \(4\).

Дано: \(АВС -\)треугольник \(АВ = 4\) \(ВМ -\)медиана Найти: \(АС - ?\) Решение: Т.к высота \(AD\), перпендикулярная медиане \(BM\), делит ее пополам, то треугольник \(ABM\) является равнобедренным. \(\Rightarrow AB = AM = 4\) Т.к. \(BM\) - медиана, то \(AM\)=\(MC\) Тогда \(АС = 2АМ = 8\) Ответ: 8

В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) углы \(DAC\) и \(DBC\) равны. Докажите, что углы \(CDB\) и \(CAB\) также равны.

Дано: ABCD четырехугольник \(\angle DAC=\angle DBC\) Доказать: \(\angle CDB = \angle CAB\) Доказательство: Т.к. четырехугольник ABCD выпуклый и \(\angle DAC= \angle DBC\), около ABCD можно описать окружность. \(\Rightarrow \angle CDB= \angle CAB\) как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC, ч.т.д.

В треугольнике \(ABC\) известны длины сторон \(AB = 30\), \(AC = 100\), точка \(O\) – центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Прямая \(BD\), перпендикулярная прямой \(AO\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(D\). Найдите \(CD\).

Дано: \(\bigtriangleup ABC\) - вписанный АВ=30 АС=100 Окружность (центр О) \(BD\bot AO\) \(BD\cap AC=D\) Найти: CD Решение: Проведём СК и ВК, где К - точка пересечения АО с окр. \(\bigtriangleup AED\) и \(\bigtriangleup ACK\) : Угол АСК = вписанный и опирается на диаметр \(\Rightarrow\) угол АСК=90 \(\Rightarrow\) угол АСК = углу AED угол EAD - общий \(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup AED \sim ACK\) (по двум углам) \(\bigtriangleup ABE\) и \(\bigtriangleup ABK\) : Угол АВК = вписанный и опирается на диаметр \(\Rightarrow\) угол АВК=90 \(\Rightarrow\) угол АВК = углу AEВ угол ВАЕ - общий \(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup ABE \sim ABK\) (по двум углам) \(\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AK}\Rightarrow AB^{2}=AE\cdot AK=30^{2}=900\Rightarrow AD=\frac{900}{100}=9\) \(DC=AC-AD=100-9=91\) Ответ: \(91\)