В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.

Решение: Дано: ABCD четырехугольник $\angle BCA=\angle BDA$ Доказать: $\angle ABD = \angle ACD$ Доказательство: Т.к. четырехугольник ABCD выпуклый и $\angle BCA= \angle BDA$, около ABCD можно описать окружность. $\Rightarrow \angle ABD= \angle ACD$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD, ч.т.д.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

Решение: Дано: ABCD четырехугольник $\angle CDB=\angle CAB$ Доказать: $\angle BCA = \angle BDA$ Доказательство: Т.к. четырехугольник ABCD выпуклый и $\angle CDB= \angle CAB$, около ABCD можно описать окружность. $\Rightarrow \angle BCA= \angle BDA$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BA, ч.т.д.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

Решение: Дано: ABCD четырехугольник $\angle ABD =\angle ACD$ Доказать: $\angle DAC = \angle DBC$ Доказательство: Т.к. четырехугольник ABCD выпуклый и $\angle ABD = \angle ACD$, около ABCD можно описать окружность. $\Rightarrow \angle DAC = \angle DBC$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу DC, ч.т.д.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны.

Решение: Дано: $\angle ACB >90^o$ $AA_1 \perp BC$ $BB_1 \perp AC$ Доказать: $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ Доказательство: Опишем окружность около $\triangle AA_1B$ $\angle AA_1B =90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AB$ - диаметр Опишем окружность около $\triangle AB_1B$, т.к. $\angle AB_1B=90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AB$ - диаметр $\angle B_1A_1B=\angle B_1AB$ - опираются на одну дугу $BB_1$ $\angle A_1CB_1=\angle ACB$ - вертикальные Тогда $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ по 2-ум углам, ч.т.д.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Решение: Дано: $\angle ABC >90^o$ $AA_1 \perp BC$ $CC_1 \perp AC$ Доказать: $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ Доказательство: Опишем окружность около $\triangle AA_1C$ $\angle AA_1C =90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AC$ - диаметр Опишем окружность около $\triangle AC_1C$, т.к. $\angle AC_1C=90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AC$ - диаметр $\angle C_1A_1C=\angle C_1AC$ - опираются на одну дугу $CC_1$ $\angle A_1BC_1=\angle ABC$ - вертикальные Тогда $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ - по 2-ум углам, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 66 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 230022 балла
Окружности
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.
id 230032 балла
Окружности
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.
id 230042 балла
Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.
id 230052 балла
Треугольники
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$ . Докажите, что треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны.
id 230062 балла
Треугольники
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ . Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.