Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $5$ и $45$, $BD = 15$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Решение: Дано: ABCD - трапеция ВС=5 AD=45 BD=15 Доказать: $\triangle CBD \sim \triangle BDA$ 1. $\angle CBD = \angle BDA$ - накрест лежащие при BC// AD и секущей BD $\cfrac{BC}{BD}=\cfrac{BD}{AD}$ $\cfrac{5}{15}=\cfrac{15}{45}=\cfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \triangle CBD \sim \triangle BDA$ - по 2-ум пропорциональным сторонам и углу между ними, ч.т.д.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $2$ и $32$, $BD = 8$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Решение: Дано: ABCD - трапеция ВС=2 AD=32 BD=8 Доказать: $\triangle CBD \sim \triangle BDA$ 1. $\angle CBD = \angle BDA$ - накрест лежащие при BC// AD и секущей BD $\cfrac{BC}{BD}=\cfrac{BD}{AD}$ $\cfrac{2}{8}=\cfrac{8}{32}=\cfrac{1}{4}$ $\Rightarrow \triangle CBD \sim \triangle BDA$ - по 2-ум пропорциональным сторонам и углу между ними, ч.т.д.

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$. Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.

Решение: Дано: $BC \cap AD =K$ ABCD - четырехугольник Доказать: $\triangle KAB \sim \triangle KCD$ Доказательство: 1. Пусть $\angle KCD = \alpha$ $\Rightarrow \angle BCD=180-\alpha$ (смежные) $\angle BAD + \angle BCD=180$ (признак впис. четырехугольника) $\Rightarrow \angle BAD=180-(180-\alpha)=\alpha$ $\angle BAD=\angle KCD$ Рассмотрим $\triangle ABK$ и $\triangle KCD$ $\angle BAD=\angle KCD$ $\angle K$ общий $\Rightarrow \triangle ABK \sim \triangle KCD$ - по 2-ум углам, ч.т.д.

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Решение: Дано: $AB \cap CD =M$ ABCD - четырехугольник Доказать: $\triangle MBC \sim \triangle MDA$ Доказательство: 1. Пусть $\angle MAD = \alpha$ $\Rightarrow \angle DAB=180-\alpha$ (смежные) $\angle BAD + \angle BCD=180$ (признак впис. четырехугольника) $\Rightarrow \angle BCD=180-(180-\alpha)=\alpha$ $\angle BCD=\angle MAD$ Рассмотрим $\triangle MBC$ и $\triangle MDA$ $\angle BCD=\angle MAD$ $\angle M$ общий $\Rightarrow \triangle MBC \sim \triangle MDA$ - по 2-ум углам, ч.т.д.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.

Решение: Дано: ABCD четырехугольник $\angle DAC=\angle DBC$ Доказать: $\angle CDB = \angle CAB$ Доказательство: Т.к. четырехугольник ABCD выпуклый и $\angle DAC= \angle DBC$, около ABCD можно описать окружность. $\Rightarrow \angle CDB= \angle CAB$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 65 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229972 балла
Треугольники
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $5$ и $45$ , $BD = 15$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
id 229982 балла
Треугольники
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $2$ и $32$ , $BD = 8$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
id 229992 балла
Окружности
Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$ . Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.
id 230002 балла
Окружности
Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.
id 230012 балла
Окружности
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.