Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $AFB$ и $CFD$ равна половине площади параллелограмма.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм т. $F \in ABCD$ Доказать: $S_{AFB}+S_{CFD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: Проведём через точку F прямые, параллельные сторонам параллелограмма, пересекающие его стороны AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Эти прямые делят параллелограмм ABCD на четыре параллелограмма. Поскольку диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, получаем: $S_{AFB}+S_{CFD}=S_{BFK}+S_{AFK}+S_{FCM}+S_{FMD}=\cfrac{1}{2}S_{BLFK}+\cfrac{1}{2}S_ANFK+\cfrac{1}{2}S_{LCMF}+\cfrac{1}{2}S_{NEMD}=$ $=\cfrac{1}{2}(S_{BLFK}+S_{ANFK}+S_{LCMF}+S_{NFMD})=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $AB$, $AD$ и $CD$.

Решение: Дано: ABCD - трапеция АМ - биссектриса $\angle A$ DM - биссектриса $\angle D$ $AM \cap DM= M$ $M \in BC$ Доказать: т. Н равноудалена от АВ; CD; AD Доказательство: 1) Проведем $MH \perp AB$ - расстояние от М до АВ $MK \perp AD$ - расстояние от М до AD; $ME \perp CD$ - расстояние от М до CD т.к. АМ - биссектриса $\angle BAD$, то т. М равноудалена от AB и AD МН=МК т.к. DМ - биссектриса $\angle CDA$, то т. М равноудалена от CD и AD МE=МК МН=МК=МЕ, ч.т.д.

Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$.

Решение: Дано: ABCD - трапеция АK - биссектриса $\angle A$ BK - биссектриса $\angle B$ $AK \cap BK= K$ $K \in DC$ Доказательство: 1) Проведем $KM \perp AB$ - расстояние от K до АВ $KH \perp AD$ - расстояние от K до AD; $KE \perp CB$ - расстояние от K до CB т.к. АK - биссектриса $\angle BAD$, то т. K равноудалена от AB и AD $KM=KH$ т.к. KB - биссектриса $\angle ABC$, то т. K равноудалена от CB и AB $KE=M$ $KH=KE =KM$, ч.т.д.

Биссектрисы углов $C$ и $D$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$.

Решение: Дано: ABCD - трапеция CP - биссектриса $\angle C$ PD - биссектриса $\angle D$ $CP \cap PD= P$ $P \in AB$ Доказательство: По свойству биссектрисы угла точка $Р$ равноудалена от прямых $AD$ и $C$D (так как лежит на биссектрисе угла $D$) и равноудалена от прямых $BC$ и $CD$ (так как лежит на биссектрисе угла $С$). Значит, точка Р равноудалена от всех трех указанных прямых, ч.т.д.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.

Решение: Решение: Дано: ABCD - трапеция CO - биссектриса $\angle C$ OB - биссектриса $\angle B$ $CO \cap OB= O$ $O \in AD$ Доказательство: Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $ABC$, следовательно, она равноудалена от прямых $AB$ и $BC$. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $BCD$, следовательно, она равноудалена от прямых $BC$ и $CD$. Таким образом, точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD$, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 62 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229822 балла
Площади фигур
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $AFB$ и $CFD$ равна половине площади параллелограмма.
id 229832 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $A$ и $D$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $BC$ . Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $AB$ , $AD$ и $CD$ .
id 229842 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$ , лежащей на стороне $CD$ . Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$ , $BC$ и $AD$ .
id 229852 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $C$ и $D$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $P$ , лежащей на стороне $AB$ . Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$ , $CD$ и $AD$ .
id 229862 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$ , лежащей на стороне $AD$ . Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$ , $BC$ и $CD$ .