Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $K$ – середина стороны $BC$. Докажите, что $AK$ – биссектриса угла $BAD$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм BC=2AB BK=KC Доказать: AK - биссектриса $\angle BAD$ Доказательство: 1) Пусть BC=x, тогда AB=2x Т.к. K - середина BC $\Rightarrow BK=KC=\cfrac{2x}{2}=x$ $\Rightarrow BK=AB=KC$ $\Rightarrow \triangle ABK$ - равнобедренный $\Rightarrow \angle BAK = \angle BKA$ - св-во равнобедренного треугольника 2) $\angle BKA = \angle KAC$ - накрест лежащие при BC//AD и секущей KA $\Rightarrow \angle BAK = \angle BKA = \angle KAC$ $\Rightarrow$ AK - биссектриса $\angle BAD$, ч.т.д.

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$. Точка $L$ – середина стороны $AB$. Докажите, что $DL$ – биссектриса угла $ADC$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм AB=2AD AL=LB Доказать: DL - биссектриса $\angle ADC$ Доказательство: 1) Пусть BC=x, тогда AB=2x Т.к. L - середина AB $\Rightarrow AL=LB=\cfrac{2x}{2}=x$ $\Rightarrow AD=AL=LB$ $\Rightarrow \triangle ADL$ - равнобедренный $\Rightarrow \angle ADL = \angle ALD$ - св-во равнобедренного треугольника 2) $\angle ALD = \angle LDC$ - накрест лежащие при AB//CD и секущей DL $\Rightarrow \angle ADL = \angle ALD = \angle LDC$ $\Rightarrow$ DL - биссектриса $\angle ADC$, ч.т.д.

Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC$. Точка $N$ – середина стороны $CD$. Докажите, что $BN$ – биссектриса угла $ABC$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм CD=2BC DN=NC Доказать: BN - биссектриса $\angle ABC$ Доказательство: 1) Пусть BC=x, тогда CD=2x Т.к. N - середина CD $\Rightarrow AL=LB=\cfrac{2x}{2}=x$ $\Rightarrow DN=NC=BC$ $\Rightarrow \triangle NBC$ - равнобедренный $\Rightarrow \angle CBN = \angle CNB$ - св-во равнобедренного треугольника 2) $\angle ABN = \angle BNC$ - накрест лежащие при AB//CD и секущей BN $\Rightarrow \angle CBN = \angle CNB = \angle ABN$ $\Rightarrow$ BN - биссектриса $\angle ABC$, ч.т.д.

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $M$ – середина $CD$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм AM - биссектриса $\angle A$ BM - биссектриса $\angle B$ Т. $M \in CD$ Доказать: CM=MD Доказательство: 1) $\angle BAM = \angle AMD$ - накрест лежащие при AB// CD и секущей АМ Т.к. $\angle BAM= \angle MAD$ - т.к. AM - биссектриса $\Rightarrow \angle MAD = \angle AMD$ $\Rightarrow \triangle ADM$ - равнобедренный $\Rightarrow AD=DM$ 2) $\angle ABM = \angle BMC$ - накрест лежащие при AB//CD и секущей ВМ Т.к. $\angle ABM = \angle CBM$ (ВМ - биссектриса) $\Rightarrow \angle CBM = \angle CMB$ $\triangle CBM$ - равнобедренный; ВС=СМ 3) AD=BC (ABCD - параллелограмм) $\Rightarrow AD=BC=CM=MD$, ч.т.д.

Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что $L$ – середина $AB$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм CL - биссектриса $\angle C$ DL - биссектриса $\angle D$ Т. $L \in AB$ Доказать: AL=LB Доказательство: 1) $\angle ALD = \angle LDC$ - накрест лежащие при AB// CD и секущей LD Т.к. $\angle ADL= \angle LDC$ - т.к. DL - биссектриса $\Rightarrow \angle ADL = \angle ALD$ $\Rightarrow \triangle ADL$ - равнобедренный $\Rightarrow AD=AL$ 2) $\angle BLC = \angle LCD$ - накрест лежащие при AB//CD и секущей CL Т.к. $\angle BCL = \angle LCD$ (DL - биссектриса) $\Rightarrow \angle BLC = \angle BCL$ $\triangle LBC$ - равнобедренный; ВС=СМ 3) AD=BC (ABCD - параллелограмм) $\Rightarrow AD=BC=AL=LB$, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 60 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229722 балла
Четырёхугольники
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$ . Точка $K$ – середина стороны $BC$ . Докажите, что $AK$ – биссектриса угла $BAD$ .
id 229732 балла
Четырёхугольники
Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$ . Точка $L$ – середина стороны $AB$ . Докажите, что $DL$ – биссектриса угла $ADC$ .
id 229742 балла
Четырёхугольники
Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC$ . Точка $N$ – середина стороны $CD$ . Докажите, что $BN$ – биссектриса угла $ABC$ .
id 229752 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $CD$ . Докажите, что $M$ – середина $CD$ .
id 229762 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$ , лежащей на стороне $AB$ . Докажите, что $L$ – середина $AB$ .