Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ – середина $AD$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм BM - биссектриса $\angle B$ CM - биссектриса $\angle C$ Т. $M \in AD$ Доказать: AM=MD Доказательство: 1) $\angle BMA = \angle MBC$ - накрест лежащие при AD// BC и секущей BM Т.к. $\angle ABM= \angle MBC$ - т.к. BM - биссектриса $\Rightarrow \angle ABM = \angle AMB$ $\Rightarrow \triangle ABM$ - равнобедренный $\Rightarrow AB=AM$ 2) $\angle BCM = \angle CMD$ - накрест лежащие при BC//AD и секущей CM Т.к. $\angle BCM = \angle MCD$ (CМ - биссектриса) $\Rightarrow \angle DMC = \angle DCM$ $\triangle MDC$ - равнобедренный; DС=DМ 3) AB=DC (ABCD - параллелограмм) $\Rightarrow AB=DC=AM=MD$, ч.т.д.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что $K$ – середина $BC$.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм AK - биссектриса $\angle A$ DK - биссектриса $\angle D$ Т. $K \in BC$ Доказать: BK=KC Доказательство: 1) $\angle BKA = \angle KAD$ - накрест лежащие при AD// BC и секущей AK Т.к. $\angle BAK= \angle KAD$ - т.к. AK - биссектриса $\Rightarrow \angle BAK = \angle BKA$ $\Rightarrow \triangle BAK$ - равнобедренный $\Rightarrow AB=AK$ 2) $\angle CKD = \angle KDA$ - накрест лежащие при BC//AD и секущей KD Т.к. $\angle ADK = \angle KDC$ (KD - биссектриса) $\Rightarrow \angle CKD = \angle CDK$ $\triangle KDC$ - равнобедренный; KС=DC 3) AB=DC (ABCD - параллелограмм) $\Rightarrow AB=DC=BK=KC$, ч.т.д.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм т. $E \in ABCD$ Доказать: $S_{BEC}+S_{AED}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1) Проведём $KH \perp AD$ через т. Е, тогда $S_{ABCD}= KH \cdot AD$ 2) $S_{BEC}=\cfrac{1}{2}EK \cdot BC (EK \perp BC, т.к. EK \in KH)=\cfrac{1}{2}EK \cdot AD (BC=AD)$ $S_{AED}=\cfrac{1}{2}EH \cdot AD (EH \perp AD, т.к. EH \in KH)$ $S_{BEC}+S_{AED}=\cfrac{1}{2}EK \cdot AD+ \cfrac{1}{2}EH \cdot AD= \cfrac{1}{2}AD(EK+EH)=\cfrac{1}{2}AD \cdot KH = \cfrac{1}{2} S_{ABCD}$, ч.т.д.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм т. $F \in ABCD$ Доказать: $S_{BFC}+S_{AFD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1) Проведём $KM \perp AD$ через т. F, тогда $S_{ABCD}= KM \cdot AD$ 2) $S_{BFC}=\cfrac{1}{2}FK \cdot BC (FK \perp BC, т.к. FK \in KM)=\cfrac{1}{2}FK \cdot AD (BC=AD)$ $S_{AFD}=\cfrac{1}{2}FM \cdot AD (FM \perp AD, т.к. FM \in KM )$ $S_{BFC}+S_{AFD}=\cfrac{1}{2}FK \cdot AD+ \cfrac{1}{2}FM \cdot AD= \cfrac{1}{2}AD(FK+FM)=\cfrac{1}{2}AD \cdot KM = \cfrac{1}{2} S_{ABCD}$, ч.т.д.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $AEB$ и $CED$ равна половине площади параллелограмма.

Решение: Дано: ABCD - параллелограмм т. $E \in ABCD$ Доказать: $S_{AEB}+S_{CED}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: Проведём через точку Е прямые, параллельные сторонам параллелограмма, пересекающие его стороны AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Эти прямые делят параллелограмм ABCD на четыре параллелограмма. Поскольку диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, получаем: $S_{AEB}+S_{CED}=S_{BEK}+S_{AEK}+S_{ECM}+S_{EMD}=\cfrac{1}{2}S_{BLEK}+\cfrac{1}{2}S_ANEK+\cfrac{1}{2}S_{LCME}+\cfrac{1}{2}S_{NEMD}=$ $=\cfrac{1}{2}(S_{BLEK}+S_{ANEK}+S_{LCME}+S_{NEMD})=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 61 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229772 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $AD$ . Докажите, что $M$ – середина $AD$ .
id 229782 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$ , лежащей на стороне $BC$ . Докажите, что $K$ – середина $BC$ .
id 229792 балла
Площади фигур
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.
id 229802 балла
Площади фигур
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма.
id 229812 балла
Площади фигур
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $AEB$ и $CED$ равна половине площади параллелограмма.