В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.

Решение: Дано: $ABCD$ - трапеция $BD \cap AC =O$ Доказать: $S_{AOB}=S_{COD}$ Доказательство: 1)Проведем $BH \perp AD$ $CK \perp AD$ $BH=CK$ (высоты трапеции $ABCD$) $S_{ABD}=\cfrac{1}{2}BH \cdot AD$ $S_{ACD}= CK \cdot AD$ Значит $S_{ABD}=S_{ACD}$ 2)$S_{ABD}=S_{ABO}+S_{AOD}$ $S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}$ $S_{ABD}=S_{ACD}$ $\Rightarrow S_{ABO}=S_{COD}$, ч.т.д.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$. Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.

Решение: Дано: ABCD - трапеция $BD \cap AC =P$ Доказать: $S_{APB}=S_{CPD}$ Доказательство: Проведём высоты BH и CK, они равны. Площадь треугольника ABD равна $\cfrac{1}{2} AD \cdot BH$. Площадь треугольника CAD равна $\cfrac{1}{2} AD \cdot CK$. Поскольку высоты BH и CK равны, равны и площади треугольников ABD и CAD. $S_{APB}=S_{ABD}-S_{APD}=S_{CAD}-S_{APD}=S_{CPD}$, ч.т.д.

Точка $E$ – середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции.

Решение: Дано: ABCD - трапеция ЕВ=ЕА Доказать: $S_{ECD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1. Проведем $HK \perp BC$ через т. Е 2. $S_{EBC}=\cfrac{1}{2}EH \perp BC$ $S_{AED}=\cfrac{1}{2}EK \cdot AD$ 3.$\triangle EHB$ и $\triangle AEK$ $\angle HEB = \angle AEK$ - вертикальные АЕ=ЕВ - по условию $\triangle EHB = \triangle AEK$ - по гипотенузе и острому углу $\Rightarrow EH=EK=\cfrac{1}{2}HK$ $\Rightarrow S_{EBC}=\cfrac{1}{2}\cfrac{1}{2} HK \cdot BC$ $\Rightarrow S_{AED}=\cfrac{1}{2}\cfrac{1}{2} HK \cdot AD$ $S_{EBC}+S_{AED}=\cfrac{1}{2}\cfrac{1}{2} HK \cdot BC=\cfrac{1}{2}\cfrac{1}{2} HK \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2}\cdot HK(BC+AD)=\cfrac{1}{2}\cfrac{BC+AD}{2} \cdot HK=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.

Точка $K$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.

Решение: Дано: ABCD - трапеция CK=KD Доказательство: Продолжим ВК до пересечения с прямой AD в точке F. $\triangle FDK$ и $\triangle BCK$ $CK=DK$ по условию Углы при вершине К равны - вертикальные $\angle KDF =\angle KCB$ - накрест лежащие Значит, треугольники FDK и BCK равны. Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Из равенства треугольников также вытекает, что FK=BK, то есть АК - медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции, ч.т.д.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции.

Решение: Дано: ABCD - трапеция KM - средняя линия т. $E \in KM$ Доказать: $S_{BEC}+S_{AED}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1) Проведем $HN \perp AD$ $\Rightarrow S_{EBC}=\cfrac{1}{2}EH \cdot BC$ $S_{AED}=\cfrac{1}{2} EN \cdot AD$ Т.к. КМ - средняя линия, то КВ=АК $\Rightarrow HE=EN=\cfrac{1}{2}HN$ 2) $S_{EBC}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} HN \cdot BC$ $S_{AED} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} HN \cdot AD$ 3) $S_{EBC}+S_{AED}= \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot HN \cdot BC+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot\cfrac{1}{2} HN \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} NH(BC+AD)=\cfrac{1}{2}NH \cdot \cfrac{BC+AD}{2}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ , ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 63 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229872 балла
Площади фигур
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$ . Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.
id 229882 балла
Площади фигур
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$ . Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.
id 229892 балла
Площади фигур
Точка $E$ – середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ . Докажите, что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции.
id 229902 балла
Площади фигур
Точка $K$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ . Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.
id 229912 балла
Площади фигур
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $E$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции.