На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.

Решение: Дано: ABCD - трапеция EM - средняя линия т. $K \in EM$ Доказать: $S_{BKC}+S_{AKD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1) Проведем $NH \perp AD$ $\Rightarrow S_{KBC}=\cfrac{1}{2}NK \cdot BC$ $S_{AKD}=\cfrac{1}{2} KH \cdot AD$ Т.к. EМ - средняя линия, то AE=EB $\Rightarrow NK=KH=\cfrac{1}{2}HN$ 2) $S_{KBC}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} HN \cdot BC$ $S_{AKD} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} HN \cdot AD$ 3) $S_{KBC}+S_{AKD}= \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot HN \cdot BC+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot\cfrac{1}{2} HN \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} NH(BC+AD)=\cfrac{1}{2}NH \cdot \cfrac{BC+AD}{2}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции.

Решение: Дано: ABCD - трапеция LM - средняя линия т. $F \in LM$ Доказать: $S_{BFC}+S_{AFD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1) Проведем $EN \perp AD$ $\Rightarrow S_{FBC}=\cfrac{1}{2}EF \cdot BC$ $S_{AFD}=\cfrac{1}{2} FN \cdot AD$ Т.к. LМ - средняя линия, то AL=LB $\Rightarrow EF=FN=\cfrac{1}{2}EN$ 2) $S_{FBC}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} EN \cdot BC$ $S_{AFD} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} EN \cdot AD$ 3) $S_{FBC}+S_{AFD}= \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot EN \cdot BC+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot\cfrac{1}{2} EN \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} NE(BC+AD)=\cfrac{1}{2}NE \cdot \cfrac{BC+AD}{2}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $M$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BMC$ и $AMD$ равна половине площади трапеции.

Решение: Дано: ABCD - трапеция LF - средняя линия т. $M \in LF$ Доказать: $S_{BMC}+S_{AMD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$ Доказательство: 1) Проведем $EN \perp AD$ $\Rightarrow S_{MBC}=\cfrac{1}{2}EM \cdot BC$ $S_{AMD}=\cfrac{1}{2} MN \cdot AD$ Т.к. LF - средняя линия, то AL=LB $\Rightarrow EM=MN=\cfrac{1}{2}EN$ 2) $S_{MBC}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} EN \cdot BC$ $S_{AMD} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} EN \cdot AD$ 3) $S_{MBC}+S_{AMD}= \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot EN \cdot BC+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot\cfrac{1}{2} EN \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} NE(BC+AD)=\cfrac{1}{2}NE \cdot \cfrac{BC+AD}{2}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $64$, $BD = 16$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Решение: Дано: ABCD - трапеция ВС=4 AD=64 BD=16 Доказать: $\triangle CBD \sim \triangle BDA$ 1. $\angle CBD = \angle BDA$ - накрест лежащие при BC// AD и секущей BD $\cfrac{BC}{BD}=\cfrac{BD}{AD}$ $\cfrac{4}{16}=\cfrac{16}{64}=\cfrac{1}{4}$ $\Rightarrow \triangle CBD \sim \triangle BDA$ - по 2-ум пропорциональным сторонам и углу между ними, ч.т.д.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $7$ и $28$, $BD = 14$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Решение: Дано: ABCD - трапеция ВС=7 AD=28 BD=14 Доказать: $\triangle CBD \sim \triangle BDA$ 1. $\angle CBD = \angle BDA$ - накрест лежащие при BC// AD и секущей BD $\cfrac{BC}{BD}=\cfrac{BD}{AD}$ $\cfrac{7}{14}=\cfrac{14}{28}=\cfrac{1}{2}$ $\Rightarrow \triangle CBD \sim \triangle BDA$ - по 2-ум пропорциональным сторонам и углу между ними, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 64 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229922 балла
Площади фигур
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.
id 229932 балла
Площади фигур
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции.
id 229942 балла
Площади фигур
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $M$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $BMC$ и $AMD$ равна половине площади трапеции.
id 229952 балла
Четырёхугольники
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $64$ , $BD = 16$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
id 229962 балла
Четырёхугольники
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $7$ и $28$ , $BD = 14$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.