В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.

Решение: Дано: $\angle BAC >90^o$ $BB_1 \perp AC$ $CC_1 \perp BC$ Доказать: $\triangle B_1A_1C_1 \sim \triangle ABC$ Доказательство: Опишем окружность около $\triangle BB_1C$ $\angle BB_1C =90^o$ (вписанный) $\Rightarrow BC$ - диаметр Опишем окружность около $\triangle BC_1C$, т.к. $\angle BC_1C=90^o$ (вписанный) $\Rightarrow BC$ - диаметр $\angle C_1B_1C=\angle C_1BC$ - опираются на одну дугу $CC_1$ $\angle B_1AC_1=\angle BAC$ - вертикальные Тогда $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ по 2-ум углам, ч.т.д.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.

Решение: Дано: $\triangle ABC$ $AA_1, BB_1$ высоты Доказательство: 1. Опишем окружность около $\triangle ABB_1$ Т.к. $\angle AB_1B=90^o$ АВ - диаметр (св-во вписанного угла) 2. Опишем окружность около $\triangle AA_1B$ $\angle AA_1B=90^o$ АВ - диаметр $\Rightarrow ABA_1B_1$ лежат на одной окружности $\Rightarrow \angle ABB_1= \angle AA_1B_1$ лежат на одной окружности (опираются на одну дугу $AB_1$ ), ч.т.д.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.

Решение: Дано: $\triangle ABC$ $AA_1, CC_1$ высоты Доказательство: 1. Опишем окружность около $\triangle ACC_1$ Т.к. $\angle AC_1C=90^o$ АC - диаметр (св-во вписанного угла) 2. Опишем окружность около $\triangle AA_1C$ $\angle AA_1C=90^o$ АC - диаметр $\Rightarrow ACA_1C_1$ лежат на одной окружности $\Rightarrow \angle ACC_1= \angle AA_1C_1$ лежат на одной окружности (опираются на одну дугу $AC_1$ ), ч.т.д.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.

Решение: Дано: $\triangle ABC$ $BB_1, CC_1$ высоты Доказательство: 1. Опишем окружность около $\triangle BCC_1$ Т.к. $\angle BC_1C=90^o$ CВ - диаметр (св-во вписанного угла) 2. Опишем окружность около $\triangle BB_1C$ $\angle BB_1C=90^o$ CB - диаметр $\Rightarrow BCB_1C_1$ лежат на одной окружности $\Rightarrow \angle BCC_1= \angle BB_1C_1$ лежат на одной окружности (опираются на одну дугу $BC_1$ ), ч.т.д.

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.

Решение: Дано: P,Q - центры окружностей P и Q по одну сторону от KL Доказать: $PQ \perp KL$ 1. Проведем PK, PL - радиусы окр. $\Rightarrow PK=PL$ 2. Проведем QK=QL - радиусы т. Р равноудалена от концов отрезка KL т. Q равноудалена от концов отрезка KL $\Rightarrow PQ$ - серединный перпендикуляр к KL $\Rightarrow PQ \perp KL$ , ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 67 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 230072 балла
Треугольники
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$ . Докажите, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.
id 230082 балла
Треугольники
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$ . Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.
id 230092 балла
Треугольники
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ . Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.
id 230102 балла
Треугольники
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$ . Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.
id 230112 балла
Окружности
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$ , причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$ . Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.