Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Доказательство: Дано: $ABCD$ - параллелограмм $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$ $O \in EF$ $EF$ пересекает $AB$ в т. $Е$ $EF$ пересекает $CD$ в т. $F$ Доказать: $AE=CF$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle EOA$ и $\triangle COF$ $\angle EOA = \angle COF$ - вертикальные $АО=ОС$ - св-во параллелограмма $\angle EAO = \angle OCF$ - накрест лежащие при $AB//CD$ и секущей АС $\Rightarrow \triangle EOA = \triangle COF$ - по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам $\Rightarrow AE=CF$ - соответственные элементы, ч.т.д.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.

Доказательство: Дано: $ABCD$ - параллелограмм $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$ $O \in PQ$ $PQ$ пересекает $AB$ в т. $P$ $PQ$ пересекает $CD$ в т. $Q$ Доказать: $BP=DQ$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle BPO$ и $\triangle OQD$ $\angle BOP = \angle QOD$ - вертикальные $AO=OC$ - св-во параллелограмма $\angle BPO = \angle ODC$ - накрест лежащие при $AB//CD$ и секущей $BD$ $\Rightarrow \triangle BPO = \triangle OQD$ - по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам $\Rightarrow BP=QD$ - соответственные элементы, ч.т.д.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.

Доказательство: Дано: $ABCD$ - параллелограмм $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$ $O \in KM$ $KM$ пересекает $BC$ в т. $K$ $KM$ пересекает $AD$ в т. $M$ Доказать: $BK=DM$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle BKO$ и $\triangle DMO$ $\angle BOK = \angle MOD$ - вертикальные $AO=OC$ - св-во параллелограмма $\angle OBK = \angle ODM$ - накрест лежащие при $BC//AD$ и секущей BD $\Rightarrow \triangle BOK = \triangle MOD$ - по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам $\Rightarrow BK=DM$ - соответственные элементы, ч.т.д.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.

Доказательство: Дано: $ABCD$ - параллелограмм $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$ $O \in LN$ $LN$ пересекает $BC$ в т. $L$ $LN$ пересекает $AD$ в т. $N$ Доказать: $CL=AN$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle CLO$ и $\triangle ANO$ $\angle COL = \angle AON$ - вертикальные $AO=OC$ - св-во параллелограмма $\angle OAN = \angle OCL$ - накрест лежащие при $BC//AD$ и секущей AC $\Rightarrow \triangle AON = \triangle COL$ - по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам $\Rightarrow CL=AN$ - соответственные элементы, ч.т.д.

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $M$ – середина стороны $AD$. Докажите, что $CM$ – биссектриса угла $BCD$.

Решение: Дано: ABCD - параллолограмм AD=2CD AM=MD Доказать: CM - биссектриса $\angle BCD$ Доказательство: 1) Пусть CD=x, тогда AD=2x Т.к. М - середина AD $\Rightarrow AM=MD=\cfrac{2x}{2}=x$ $\Rightarrow MD=CD=AM$ $\Rightarrow \triangle CDM$ - равнобедренный $\Rightarrow \angle MCD = \angle CMD$ - св-во равнобедренного треугольника 2) $\angle BCM = \angle CMD$ - накрест лежащие при BC//AD и секущей МС $\Rightarrow \angle BCM = \angle CMD = \angle MCD$ $\Rightarrow$ CM - биссектриса $\angle BC$, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 59 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 229672 балла
Четырёхугольники
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.
id 229682 балла
Четырёхугольники
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.
id 229692 балла
Четырёхугольники
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.
id 229702 балла
Четырёхугольники
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.
id 229712 балла
Четырёхугольники
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$ . Точка $M$ – середина стороны $AD$ . Докажите, что $CM$ – биссектриса угла $BCD$ .