На двух концах легкой пружины закреплено два бруска, массы которых равны \(m_1=m_2=500\) г. Верхний брусок связан с помощью невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок, с кубиком массой \(M=1,5\) кг, находящимся на горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения между основанием кубика и поверхностью стола \(\mu=0,2\). Чему равна жесткость пружины, если длина пружины в недеформированном состоянии \(l_0=12\) см, а при движении системы с ее длина постоянна и равна \(l=15\) см? Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

\(|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2|=T\) \(|\vec{F}_{у1}|=|\vec{F}_{у2}|=F_у\) \(|\vec{a}_1|=|\vec{a}'_1|=|\vec{a}_2|=a\) По второму закону Ньютона в проекциях на оси для кубика \(M\): \(Oy:~N-Mg=0\Rightarrow N=Mg\) Сила трения: \(F_{тр}=\mu N=\mu Mg\) \(Ox:~T-F_{тр}=Ma\Rightarrow T-Mg=Ma\Rightarrow T=Ma+\mu Mg\) Для брусков \(m_1\) и \(m_2\): \(Oy:~T-m_1g-F_у=-m_1a\) \(Oy:~F_у-m_2g=-m_2a\Rightarrow F_у=mg-ma\) \(m_1=m_2=m\) Объединим выражения: \(Ma+\mu Mg-mg-(mg-ma)=-ma\Rightarrow Ma+ma+ma=2mg-\mu Mg\) \(a(2m+M)=g(2m-\mu M)\) Найдем ускорение: \(a=g\frac{2m-\mu M}{2m+M}=10\cdot \frac{2\cdot 0,5-0,2\cdot 1,5}{2\cdot 0,5+1,5}=2,8~м/с^2\) Сила упругости из ранее полученного выражения: \(F_у=mg-ma=0,5\cdot 10-0,5\cdot 2,8=3,6~Н\) С другой стороны: \(F_у=k(l-l_0)\) Жесткость пружины: \(k=\frac{F_у}{l-l_0}=\frac{3,6}{0,15-0,12}=120~Н/м\) Ответ: \(120 Н/м\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Т.к. все тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) В ИСО для материальных точек распишем 2-й закон Ньютона. 4) Т.к. нить невесома, а блок идеален, модуль силы натяжения нити по всей ее длине – одинаковый. 5) Т.к. нить нерастяжима, а длина пружины при движении системы постоянна, ускорения тел равны по модулю. 6) Т.к. пружина невесома, силы упругости, действующие на верхнее и нижнее тела, будут равны по модулю.

На рисунке представлен график зависимости проекции \(v_x\) скорости автомобиля от времени \(t\). Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от \(20\) до \(40~\mathrm{с}\). Ответ дайте в \(\mathrm{м}\).

Путь в данном случае равен площади фигуры под графиком \(v_x\left (t\right )\): \(l=S_1+S_2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 20+\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 25=225~\mathrm{м}\)

К системе из кубика массой \(m=2~\mathrm{кг}\) и двух пружин приложена постоянная горизонтальная сила \(F\) величиной \(16~\mathrm{Н}\) (см. рисунок). Между кубиком и опорой трения нет. Система покоится. Жесткость первой пружины \(k_1=400~\mathrm{Н/м}\). Удлинение второй пружины равно \(2~\mathrm{см}\). Определите жесткость второй пружины \(k_2\). Ответ дайте в \(\mathrm{Н/м}\).

Рассмотрим силы, действующие на невесомую точку в состоянии покоя: \(F=F_{\mathrm{у}2}=k_2x_2\) Жесткость пружины: \(k_2=\frac{F}{x_2}=\frac{16}{0,02}=800~\mathrm{Н/м}\)

Тележка массой \(10~\mathrm{кг}\) движется с постоянной скоростью. Ее кинетическая энергия равна \(45~\mathrm{Дж}\). Какова скорость тележки? Ответ дайте в \(\mathrm{м/с}\).

Кинетическая энергия тележки: \(E_{\mathrm{к}}=\frac{mv^2}{2}\) Скорость тележки: \(v=\sqrt{\frac{2E_{\mathrm{к}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 45}{10}}=3~\mathrm{м/с}\)

Период свободных колебаний пружинного маятника равен \(0,8\) с. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если массу груза увеличить в \(4\)?раза, не изменяя жесткости пружины? Ответ дайте в с.

Период колебаний пружинного маятника: \(в~2\uparrow T=2\pi \sqrt{\frac{m\uparrow в~4}{k}}\) – при увеличении массы груза маятника в \(4\) раза увеличится вдвое. \(T_2=2T_1=2\cdot 0,8=1,6~с\)