Брусок массой \(M=1\) кг, покоящийся на шероховатом горизонтальном столе, и тело массой \(m_1=400\) г связаны легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок (см. рисунок). К телу на пружине с коэффициентом жесткости \(k=90\) Н/м подвешен грузик массой \(m_1=m_2=400\) г. Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен \(0,25\). Длина пружины в нерастянутом состоянии \(l_0=10\) см. Чему равна длина пружины при движении системы, если учесть, что после растяжения она остается постоянной? Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Запишем 2ой закон Ньютона для бруска массой М: \(N-M g=0=>N=M g\) \(T-F_{\text {тр }}=M a\) Сила трения находится по формуле \(F_{\text {тр }}=\mu N\) Объединим формулы: \(T-\mu M g=M a=>T=M(\mu g+a)\) Запишем 2ой закон Ньютона для брусков массами \(\mathrm{m}_1\) и \(\mathrm{m}_2\) : \(T-F_{\text {упр }}-m_1 g=-m_1 a\) \(F_{\text {упр }}-m_2 g=-m_2 a=>F_{\text {упр }}=m_2(g-a)\) Подставим формулу силы натяжения: \(M(\mu g+a)-F_{\mathrm{ynp}}-m_1 g=-m_1 a\) \(M \mu g+M a-m_2(g-a)-m_1 g=-m_1 a\) \(a=\frac{g\left(m_2+m_1-\mu M\right)}{m_1+m_2+M}=\frac{10(400+400-1000 \cdot 0,25)}{400+400+1000} \approx 3,0556 м / \mathrm{c}^2\) \(F_{\mathrm{ynp}}=k\left(l-l_0\right)\) \(l-l_0=\frac{F_{\mathrm{ynp}}}{k}\) \(l-l_0=\frac{m_2(g-a)}{k}\) \(l=l_0+\frac{m_2(g-a)}{k}=0,131 м\) Ответ: 0,131 м Обоснование: Рассмотрим систему отсчета, связанную с землей. Будем считать ее ИСО. Т.к тела движутся поступательно, используем модель материальной точки. В ИСО используем 2ой закон Ньютона. Т.к нить нерастяжима, а пружина имеет постоянную длину в процессе движения, то ускорения всех тел по модулю одинаковы \(\left|\overline{a_1}\right|=\left|\overline{a_2}\right|=\left|\overline{a_3}\right|=a\) Т.к нить невесома, а блок идеален, то \(\left|\bar{T}_1\right|=\left|\bar{T}_2\right|=T\) Т.к пружина невесома, то \(\left|\bar{F}_\text{упр1}\right|=\left|\bar{F}_\text{упр2}\right|=F_\text{упр}\) https://youtu.be/iNqoDdY3vX4

Тонкая деревянная палочка массой \(m=3\) кг и длиной \(l=0,3\) м помещена в сосуд с водой и плавает там, не касаясь дна и стенок сосуда. К правому концу палочки прикреплена тонкая нерастяжимая нить, другой конец которой закреплен на меньшем из двух дисков идеального составного блока. На большем диске блока закреплена другая лёгкая нерастяжимая нить, на которой висит брусок массой \(M=0,5\) кг. Диски скреплены друг с другом, благодаря чему они образуют единое целое, \(R=12\) см, \(r=6\) см. Система находится в состоянии покоя. Найдите длину погруженной в воду части палочки. Какие физические законы вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применимость в данном случае.

Запишем правило моментов относительно перпендикулярной рисунку оси, проходящей через точку \(O_1\): \(T_1r=T_2R\\ T_2=Mg\) Получаем, что \(T_1r=MgR\Rightarrow T_1=Mg\frac{R}{r}\) По II закону Ньютона: \(T_1+F_A-mg=0\Rightarrow F_A=mg-T_1=mg-Mg\frac{R}{r}\) Запишем правило моментов относительно перпендикулярной рисунку оси, проходящей через точку \(О_2\): \(mgd_1=F_Ad_2, где~d_1=\frac{l}{2}\cos\alpha, d_2=\left(l-\frac{l_п}{2}\right)\cos\alpha\\ mg\frac{l}{2}\cos\alpha=F_A\left(l-\frac{l_п}{2}\right)\cos\alpha\\ mg\frac{l}{2}=g\left(m-M\frac{R}{r}\right)\left(l-\frac{l_п}{2}\right)\\ \frac{ml}{2(m-\frac{MR}{r})}=l-\frac{l_п}{2}\Rightarrow l_п=2l-\frac{ml}{m-\frac{MR}{r}}=l\left(\frac{2m-2M\frac{R}{r}-m}{m-M\frac{R}{r}}\right)=l\frac{m-2M\frac{R}{r}}{m-M\frac{R}{r}}=\\ =0,3\frac{3-2\cdot 0,5\cdot\frac{12~см}{6~см}}{3-0,5\cdot\frac{12}{6}}=0,15~м=15~см\) Ответ: 15 см Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта связанную с Землей. Будем считать её инерциальной. 2) Используем для составного блока, груза и тонкой палочки модель твердого тела. 3) Т.к. палочка однородная и тонкая, то центр масс находится посередине, а сила Архимеда действует из центра погруженной части. 4) Распишем условия равновесия для составного блока, груза и палки. Их два. Первое - сумма сил равна нулю, значит отсутствует поступательное движение. Значит относительно любой оси вращения выполняется правило моментов. Выберем для составного блока ось вращения перпендикулярную рисунку, проходящую через точку \(O_1\), а для палочки - \(O_2\). 5) Т.к. нити невесомые, то модуль сил натяжения для каждой из нитей сверху и снизу будет одинаков. \(6) Т.к. блок идеальный, то выполняется уравнение (1).\)

На шероховатой наклонной плоскости покоится цилиндр. К верхней части цилиндра по касательной прикреплена параллельная наклонной плоскости невесомая нерастяжимая нить, другой конец которой закреплен на вертикальной стене. Масса цилиндра \(1\) кг, его радиус \(20\) см, коэффициент трения цилиндра о наклонную плоскость \(0,5\). Определите предельный угол \(\alpha\), при котором цилиндр будет находиться в равновесии. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Относительно оси, проходящей перпендикулярно рисунку через точку \(O\), запишем правило моментов: \(TR=F_{тр}R\) Запишем условие равновесия: \(N-mg\cos\alpha=0\Rightarrow N=mg\cos\alpha\\ T+F_{тр}-mg\sin\alpha=0\\ F_{тр}+F_{тр}=mg\sin\alpha\Rightarrow F_{тр}=\frac{mg\sin\alpha}{2}\) Так как цилиндр покоится: \(F_{тр}\leq \mu N\) \(\frac{mg\sin\alpha}{2}\leq mg\cos\alpha\cdot\mu\Rightarrow tg\alpha\leq 2\mu\Rightarrow tg\alpha\leq 2\cdot 0,5=1\Rightarrow\alpha=45^\circ\) Ответ: \(45^\circ\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Для цилиндра используем модель твердого тела. 3) Цилиндр по условию находится в состоянии равновесия. Значит отсутствует поступательное и вращательное движения. 4) Для отсутствия поступательного движения распишем равенство нулю суммы векторов сил, действующих на тело. 5) Для отсутствия вращательного движения распишем правило моментов относительно оси, проходящей через точку \(O\) перпендикулярно рисунку. 6) Так как цилиндр однородный, его центр масс будет находиться посередине. 7) Так как относительно оси сила тяжести и реакции опоры не крутят тело, а сила натяжения нити крутит по часовой стрелке, то сила трения должна крутить против часовой и направлена вверх вдоль наклонной плоскости. https://www.youtube.com/watch?v=puL77KZfepE&t=7966s

Невесомый стержень \(AB\) с двумя малыми грузиками массами \(m_1 =200\) г и \(m_2 =100\) г, расположенными в точках \(C\) и \(B\) соответственно, шарнирно закреплен в точке \(A\). Груз массой \(M = 100\) г подвешен к невесомому блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединен с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонен от вертикали на угол \(\alpha= 30^\circ\), а нить составляет угол с вертикалью, равный \(\beta=30^\circ\). Расстояние \(AC=b=25\) см. Определите длину \(l\) стержня \(AB\). Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз \(M\) и стержень. Какие законы Вы используете для описания равновесия системы тел? Обоснуйте их применение к данному случаю.

По III закону Ньютона: \(|\vec{T_1}|=|\vec{T_2}|=T\) По II закону Ньютона: \(T-Mg=0\Rightarrow T=Mg\) Запишем правило моментов: \(m_1g\cdot AC\sin\alpha+m_2gl\sin\alpha=Tl\sin(\alpha+\beta)\\ m_1gb\sin\alpha=l-m_2gl\sin\alpha+Mg\sin(\alpha+\beta)\Rightarrow l=\frac{m_1b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha}\) Подставим значения: \(l=\frac{0,2\cdot 0,25\sin 30}{0,1\sin(30+30)-0,1\sin 30}=68,3~см\) Ответ: 68,3 см Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землёй. Будем считать её инерциальной. 2) Для стержня и бруска используем модель твердого тела. 3) В ИСО для твердых покоящихся тел выполняется условия равновесия: отсутствия поступательного и вращательного движений. 4) Так как поступательное движение отсутствует, то векторная сумма сил, действующих на тело равна \(0\). 5) Так как вращательное движение отсутствует, то для стержня распишем правило моментов относительно оси перпендикулярной рисунку, проходящей через точку \(A\). https://www.youtube.com/watch?v=4MZCPGBkMJI&t=7997s

На рисунке изображена система, в которой масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна \(M=2\) кг. Коэффициент трения между грузом и плоскостью равен \(\mu=0.2\). Груз движется с ускорением \(a_1\), направленным горизонтально влево. Найдите ускорение подвешенного кубика \(a_2\), масса которого равна \(0.5\) кг. Нити нерастяжимы и невесомы, блоки идеальный и невесомы. Какие физические законы вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Т.к. нити невесомые, то: \(\left|T_1^{\prime}\right|=\left|T_1\right| ;\left|T_2{ }^{\prime}\right|=\left|T_2\right|\) Смещение груза и кубика соответственно: \(\begin{aligned} & x_1=\frac{a_1 t^2}{2} ; x_2=\frac{a_2 t^2}{2} \\ & x_2=2 x_1 \\ & \frac{a_2 t^2}{2}=\frac{2 a_1 t^2}{2} \Rightarrow a_1=\frac{a_2}{2} \end{aligned}\) Сила трения: \(F_{\text {тр }}=\mu N\) \(T_1=2 T_2 \Rightarrow T_1=2 T_2 \text { (1) }\) Для груза в проекции на оу и ох соответственно: \(N=M g\) \(T_{\text {1 }}-F_{\text {тр }} = Ma_{\text {1 }}\Rightarrow T_{\text {1}} = Ma_{\text {1 }} + F_{\text {тр }} = Ma_{\text {1 }} + \mu Mg\text { (2) }\) Для кубика в проекции на оу: \(T_2-m g=-m a_2 \Rightarrow T_2=m g-m a_2 \text { (3) }\) \(\text { Подставим (2) и (3) в (1): }\) \(M a_1+\mu M g=2\left(m g-m a_2\right)\) \(M \frac{a_2}{2}+\mu M g=2\left(m g-m a_2\right)\) \(a_2\left(\frac{M}{2}+2 m\right)=2 m g-\mu M g\) \(a_2=\frac{g(2 m-\mu M)}{\frac{M}{2}+2 m}=\frac{10\left(2\cdot 0,5-0,2\cdot 2\right)}{\frac{2}{2}+2\cdot 0,5}=3~ \mathrm{м} / \mathrm{c}^2\) Oтвет: \(3~\mathrm{м} / \mathrm{c}^2\) Обоснование: Рассмотрим систему отсчета, связанную с землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). Т.к. тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки В ИСО для материальных точек используем 2 закон Ньютона Т.к. нити нерастяжимы, то ускорения грузов связаны соотношением \(a_2=2a_1\) Т.к. нити невесомы, блоки идеальные, то натяжение каждой из нитей в любой точке одинаково по модулю. А из невесомости блока и отсутствия трения в блоке следует связь между натяжениями нитей \(T_1=2T_2\) https://www.youtube.com/embed/HzWDjrm8Xmc?start=621