а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$.

а) $\frac{2^{2x^2}}{4}-24\cdot\frac{2^{x^2}}{8}+8=0|\cdot 4$ Замена $2^{x^2}=t$ $t^2-12t+32=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=8\\ t=4 \end{array} \right.$ Обратная замена: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =8\\2^{{x}^{2}} =4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =2^{3}\\ 2^{{x}^{2}} =2^{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x^{2} =3\\ x^{2} =2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \sqrt{3}\\ x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right.$ б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку $[-\frac{5}{3};2]$ 1) $-\frac{5}{3} -\sqrt{\frac{25}{9}}$, значит $-\sqrt{2}>-\frac{5}{3}$ и $-\sqrt{2} \frac{25}{9}$, то $\sqrt{3}>\sqrt{\frac{25}{9}}\Leftrightarrow -\sqrt{3}< -\sqrt{\frac{25}{9}}$, значит $-\sqrt{3}< -\frac{5}{3}$. В итоге нам подходят корни $-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$. Ответ: a) $-\sqrt{3};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$ б) $-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$.

а) Решите уравнение: $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;2]$.

а) $4^{x^2-2x}\cdot 4+4^{x^2-2x}=20$ Замена $4^{x^2-2x=t}$ $4t+t=20\Leftrightarrow t=4$ Обратная замена: $4^{x^2-2x}=4^1\Leftrightarrow x^2-2x=1\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=1+\sqrt{2}\\ x=1-\sqrt{2} \end{array} \right.$ б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку $[-1;2]$ Сравним $1+\sqrt{2}$ и $2$: вычтем из них $1\Leftrightarrow\sqrt{2}$ и $1$ или же $\sqrt{2}$ и $\sqrt{1}$, так как $2>1$, то $\sqrt{2}>\sqrt{1}$, значит $1+\sqrt{2}>2$, и корень $1+\sqrt{2}$ нам не подходит. Сравним $1-\sqrt{2}$ и $-1$: вычтем из них $1\Leftrightarrow -\sqrt{2}$ и $-2$ или же $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{4}$, так как $2 -\sqrt{4}\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}>-1$ и $1-\sqrt{2}<2$, следовательно нам подходит только корень $1-\sqrt{2}$. Ответ: a) $1\pm\sqrt{2}$, б) $1-\sqrt{2}$.

а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$.

а) $\frac{2^{2x^2}}{4}-24\cdot\frac{2^{x^2}}{8}+8=0|\cdot 4$ Замена $2^{x^2}=t$ $t^2-12t+32=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=8\\ t=4 \end{array} \right.$ Обратная замена: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =8\\2^{{x}^{2}} =4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =2^{3}\\ 2^{{x}^{2}} =2^{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x^{2} =3\\ x^{2} =2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \sqrt{3}\\ x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right.$ б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку $[-\frac{5}{3};2]$ 1) $-\frac{5}{3} -\sqrt{\frac{25}{9}}$, значит $-\sqrt{2}>-\frac{5}{3}$ и $-\sqrt{2} \frac{25}{9}$, то $\sqrt{3}>\sqrt{\frac{25}{9}}\Leftrightarrow -\sqrt{3}< -\sqrt{\frac{25}{9}}$, значит $-\sqrt{3}< -\frac{5}{3}$. В итоге нам подходят корни $-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$. Ответ: a) $-\sqrt{3};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$ б) $-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$.

а) Решите уравнение: $4^x-2^{x+3}+15=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2;\sqrt{10}]$.

a) $4^x-2^{x+3}+15=0\\ 2^{2x}-8\cdot 2^x+15=0$ Замена $2^x=t$ $t^2-8\cdot t+15=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=3\\ t=5 \end{array} \right.$ Обратная замена, учитывая $5=2^{\log_25}$ и $3=2^{\log_23}$: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{x} =3\\ 2^x=5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^{x} =2^{\log_23}\\ 2^x=2^{\log_25} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\log_23\\ x=\log_{2} 5 \end{array} \right.$ б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку $[2;\sqrt{10}]$. Так как $\log_23<\log_24$ и $\log_24<\log_25<\log_28<\sqrt{10}$, то: Нам подходит только корень: $\log_25$. Ответ: a) $\log_23; \log_25$, б) $\log_25$.

a) Решите уравнение $8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1{,}5-3x} + 640 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1; -0{,}5]$.

а) $8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1,5-3x} + 640 = 0$ $8 = 2^3,\quad 4 = 2^2$ $(2^3)^{1-4x} - 21 \cdot (2^2)^{1,5-3x} + 640 = 0$ $2^{3(1-4x)} - 21 \cdot 2^{2(1,5-3x)} + 640 = 0$ $2^{3-12x} - 21 \cdot 2^{3-6x} + 640 = 0$ $2^{3-12x} - 21 \cdot 2^{3-6x} + 640 = 0$ Преобразуем: $2^{3-12x} = 2^3 \cdot 2^{-12x} = 8 \cdot (2^{-6x})^2$; $2^{3-6x} = 2^3 \cdot 2^{-6x} = 8 \cdot 2^{-6x}$ Пусть $t = 2^{-6x} > 0$. $8t^2 - 21 \cdot 8t + 640 = 0$ $8t^2 - 168t + 640 = 0\,\,\,|:8$ $t^2 - 21t + 80 = 0$ $D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 441 - 320 = 121$ $t = \frac{21 \pm 11}{2}$ $t_1 = \frac{32}{2} = 16,\quad t_2 = \frac{10}{2} = 5$ $2^{-6x} = 16 \quad \text{или} \quad 2^{-6x} = 5$ $2^{-6x} = 2^4 \Rightarrow -6x = 4 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$ $2^{-6x} = 5 \Rightarrow x = -\dfrac16\log_25$ б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1; -0{,}5]$. Ответ: a) $-\dfrac{2}{3}$; $-\dfrac{1}{6} \log_2 5$; б) $-\dfrac{2}{3}$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, № 14 Показательные уравнения (2 часть) с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания, выбрав вид экзамена, название предмета, номер или тему. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 30102 балла
Показательные уравнения (2 часть)
а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$ .
id 161742 балла
Показательные уравнения (2 часть)
а) Решите уравнение: $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;2]$ .
id 161752 балла
Показательные уравнения (2 часть)
а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$ .
id 162592 балла
Показательные уравнения (2 часть)
а) Решите уравнение: $4^x-2^{x+3}+15=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2;\sqrt{10}]$ .
id 227682 балла
Показательные уравнения (2 часть)
a) Решите уравнение $8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1{,}5-3x} + 640 = 0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1; -0{,}5]$ .