Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием, Степенная зависимость

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $90$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $120$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 32000$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $160$ км/ч.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$·К$^4$) — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{256} \cdot 10^{21}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12 \cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$·К$^4$) — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{10368} \cdot 10^{22}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $1{,}14 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = c$, где $p$ — давление в газе (в Па), $V$ — объём газа (в м$^3$), $k = \dfrac{4}{3}$, $c = 4{,}8 \cdot 10^6$ Па·м$^4$. Найдите объём $V$ при давлении $p = 3 \cdot 10^5$ Па.

Два тела, массой $m = 9$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha,$ где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите угол $2\alpha$ (в градусах), если $Q = 81$ Дж.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho g l^3$, где $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9{,}8 \, \text{Н/кг}$), а $l$ — длина ребра куба в метрах. Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем $893025$ Н? Ответ дайте в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \alpha \rho g r^3$, где $\alpha = 4{,}2$ — постоянная, $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{Н/кг}$), $r$ — радиус аппарата в метрах. Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $447216$ Н? Ответ дайте в метрах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2 \cdot \text{К}^4$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{648} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $1{,}824 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{125} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $4{,}56 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 1{,}3122 \cdot 10^7 \, \text{Па} \cdot \text{м}^4$, где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \frac{4}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $1{,}25 \cdot 10^6 \, \text{Па}$.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 8{,}1 \cdot 10^4 \, \text{Па} \cdot \text{м}^4$, где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \frac{4}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $6{,}25 \cdot 10^5 \, \text{Па}$.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 2 \cdot 10^5$ Па·м⁵, где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \dfrac{5}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $6{,}4 \cdot 10^6$ Па.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 8 \cdot 10^4$ Па·м⁵, где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \dfrac{7}{5}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $6{,}25 \cdot 10^2$ Па.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение втрое объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее чем в $81$ раз?

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ увеличение в $625$ раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее чем в $125$ раз?

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \alpha \rho g r^3$, где $\alpha = 4{,}2$ — постоянная, $r$ — радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $141\,750$ Н? Ответ дайте в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho g l^3$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9{,}8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $264\,600$ Н? Ответ дайте в метрах.