Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Окружности и их взаимное расположение

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P$.
а) Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $\sin\angle{AOC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $QK:KA$.

К окружности с диаметром $AB=10$ проведена касательная $BC$ так, что $BC=5$. Прямая $AC$ вторично пересекает окружность в точке $D$. Точка $E$ диаметрально противоположна точке $D$. Прямые $E$ и $BC$ пересекаются в точке $F$.
а) Докажите, что $BD^{2} =CD\cdot BE$.
б) Найдите площадь треугольника $FBE$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$. 
а) Докажите, что $AE$ параллельно $BD$.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.
а) Докажите, что $CN:CM=LB:LA$.
б) Найдите $MN$, если $LB:LA=2:3$, а радиус малой окружности равен $\sqrt{23}$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=16$.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $3$ и $4$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведена прямая $MK$, пересекающая обе окружности в точках $M$ и $K$, причем точка $A$ находится между ними.
а) Докажите, что треугольники $BMK$ и $O_1AO_2$ подобны.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $MK$, если $O_1O_2=5$, $MK=7$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC=32$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $E$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $3$ и $4$.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $\sqrt{15}$ и $15$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $AE$ и $BD$ параллельны.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $N$ и $M$ равнобедренного прямоугольного треугольника $MCN$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $CN$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $L$. Прямая $CM$ вторично пересекает большую окружность в точке $K$.

а) Докажите, что $ML$ и $NK$ параллельны.

б) Найдите $CN$, если радиусы окружностей равны $6$ и $14$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $CB$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $N$. Прямая $CA$ вторично пересекает большую окружность в точке $M$.

а) Докажите, что $AN$ и $BM$ параллельны.

б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $9$ и $12$.

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:4$.
а) Докажите, что $r=0{,}4\cdot CD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=30$.

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:9$.
а) Докажите, что $r=0{,}3\cdot CD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=20$.

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC$.

а) Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC$, если $AD=4$ и $AB=5$.