Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Треугольники (2 часть)

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ вписан в окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $A_{1}$, биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $B_{1}$, биссектриса угла $C$ пересекает описанную окружность в точке $C_{1}$.
а) Докажите, что угол $A_{1} BB_{1} =45^{\circ }$.
б) Известно, что $AB=2\sqrt{3}$, $\angle A=60^{\circ }$. Найдите $B_{1} C_{1}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $B_1C_1=5$, $\angle A=30^\circ$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырехугольника $BCB_1C_1$.

В остроугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=60^{\circ }$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ - центр окружности, описанной около $\angle ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника ${AHO}$ если $BC=6\sqrt{3}$, $\angle ABC=45^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$  - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
а)  Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы в точке $N$.

а) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника $BOMN$, если $CN=4$ и $AM:MC=1:3$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а)  Докажите, что $AH  =  AO$.

б)  Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC=45^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$  — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$  — высота, $\angle{BAC} ={60}^{\circ}$, $\angle{BCA}={45}^{\circ}$.

а)  Докажите, что $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.

Точка $M$ - середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.

а) Докажите, что $\angle CAN=\angle CMN$.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\tg\angle BAC=\frac{4}{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Известно, что около четырехугольника $AMNC$ можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

б) На стороне $AC$ отмечена точка $F$, такая что $\angle AFB=135^{\circ}$. Отрезок $BF$ пересекает отрезок $MN$ в точке $E$. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $AMNC$, если $\angle ABC=120^{\circ}$ и $EF=6\sqrt{2}$.

Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$.
а) Докажите, что отличная от $A_1$ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $A_1CB_1$ и $A_1BC_1$, лежит на окружности, описанной около треугольника $B_1AC_1$.
б) Известно, что $AB=AC=10$ и $BC=12$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников $A_1CB_1$, $A_1BC_1$ и $B_1AC_1$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.
б) Найдите отношение $EH:AC$, если угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ – в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=20$ и $BC=15$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=20$ и $BC=15$.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) проведена высота \( CH \) из вершины прямого угла, \( AM \) и \( CN \) — биссектрисы треугольников \( ACH \) и \( BCH \) соответственно.

а) Докажите, что прямые \( AM \) и \( CN \) перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка \( MN \), если \( BC = 26 \) и \( \sin \angle ABC = \dfrac{4}{9} \).

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
a) Докажите, что $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB = 6$, $BC = 4$, $AC = 5$.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$ — медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ — в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC=1$, а $AC=5$.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.
б) Найдите отношение $AM:MC$, если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$ соответственно.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB=6$, $BC=4$, $AC=5$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.
а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK$.
б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD:DC=5:2$.

В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30^\circ$, отрезки $AH$ и $AM$ — высота и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM$. Отрезок $MQ$ — высота треугольника $AMC$, а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F$. Известно, что луч $AM$ — биссектриса угла $CAH$.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $CMF$, если $AB=8$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3$.
а) Докажите, что $AN=2KM$.
б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$. Найдите длину отрезка прямой $BP$, заключённого внутри треугольника $ABC$, если $AC=6$, $BC=8$.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK$, если $AM:MC=1:4$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CM$, угол $ABC$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $AM$. В треугольнике $BCM$ проведена высота $MP$. Прямые $MP$ и $CH$ пересекаются в точке $L$. Известно, что $CM$ — биссектриса угла $HCB$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $BLM$, если $AC=12$.