Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Треугольники (2 часть)

В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CL$, угол $BAC$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BL$. В треугольнике $ACL$ проведена высота $LT$. Прямые $LT$ и $CH$ пересекаются в точке $K$. Известно, что $CL$ — биссектриса угла $HCA$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $AKL$, если $AC=10$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. На отрезке $MN$ отмечена точка $L$ так, что $ML:LN=2:3$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AL$, пересекает отрезок $BF$ в его середине.

б) Найдите длину отрезка $AF$, если $AC=\sqrt{15}$.

В равностороннем треугольнике $BCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. На отрезке $MN$ отмечена точка $L$ так, что $ML:LN=1:4$. Прямая $BL$ пересекает сторону $CD$ в точке $F$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BL$, пересекает отрезок $CF$ в его середине.

б) Найдите длину отрезка $BF$, если $CD=\sqrt{21}$.

Прямая, проходящая через середину $H$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CH$ и пересекает катет $AC$ в точке $L$. При этом $AL:LC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямые $HL$ и $BC$ пересекаются в точке $T$, а прямые $AT$ и $BL$ — в точке $G$. Найдите $AG$, если $BC=4\sqrt{3}$.

Прямая, проходящая через середину $L$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CL$ и пересекает катет $AC$ в точке $F$. При этом $AF:FC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямые $FL$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а прямые $AD$ и $BF$ — в точке $K$. Найдите $AK$, если $BC=6\sqrt{3}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите отрезок $B_1C_1$, если $\angle A=60^\circ$, радиус окружности равен $7$, а площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ в три раза больше площади треугольника $AB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите радиус окружности, если $\angle A=60^\circ$, отрезок $B_1C_1=6$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из угла при основании, делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию.

а) Докажите, что эта биссектриса равна основанию треугольника.

б) Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно $12$.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из угла при основании, делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию.

а) Докажите, что биссектриса делит сторону треугольника в отношении $2:(\sqrt{5}-1)$.

б) Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна $12$.

Высоты тупоугольного треугольника $ABC$ с тупым углом $ABC$ пересекаются в точке $H$. Угол $AHC=60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC=120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=10\sqrt{3}$, $BC=8\sqrt{3}$.

Высоты тупоугольного треугольника $ABC$ с тупым углом $ABC$ пересекаются в точке $H$. Угол $AHC=60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC=120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=10$, $BC=16$.

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $AM:MC=AN:NB$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что прямая $AO$ делит сторону $BC$ пополам.

б) Найдите отношение площади треугольника $NMO$ к площади треугольника $ABC$, если $AM:MC=1:3$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{5}$, $AC=8\sqrt{3}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=1:2$.
а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.
б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $BAE$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt{15}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=2:1$.
а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.
б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BAE$.

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.
а) Докажите, что $\angle OAC = 45^\circ$.
б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO=1$ и $AC=6$.