Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Параллелограмм и ромб

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$. Прямая $BE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$, при этом $BE\perp AC$. Известно, что $AB:BC=\sqrt7:4$.
а) Докажите, что $BP=AE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $6\sqrt3$.

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$, перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудаленной от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM = BP$, $AB = BQ$.  
а) Докажите, что $BM = PQ$.  
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 8$, $AB = BQ = 10$.

Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$. В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP$. Известно, что $AB = BQ$.
a) Докажите, что $BM = PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 21$, $AB = BQ = 29$.

Дан ромб $ABCD$. Точки $K$ и $P$ — середины сторон $DC$ и $BC$ соответственно. Проведены $AK$ и $AP$ таким образом, что они пересекают диагональ $BD$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.
a) Докажите, что сумма площадей треугольников $DKT$ и $QBP$ равна площади треугольника $AQT$.
б) Известно, что в $TKCQP$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $12\sqrt{5}$.

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 21 : 10$, $BA_1 : A_1C = 2 : 3$, $AB_1 : B_1C = 2 : 5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
a) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 63$, $BC = 25$.

Точка $M$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$, $DB = DM$.
a) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}75$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что в четырёхугольник $ABPD$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB = 4$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AL\cdot BC=AB\cdot AC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=8$, $\operatorname{tg}\angle BCA=\dfrac{1}{2}$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что $\cos\angle BAD=\dfrac{1}{5}$.
б) Найдите площадь ромба, если $MN=5$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}$.

На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=21:10$, $BA_1:A_1C=2:3$, $AB_1:B_1C=2:5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$, $BC=25$.

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $\angle ABM=\angle DBC=30^\circ$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC=9$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=BP$, $AB=BQ$.
а) Докажите, что $BM=PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM=BP=8$, $AB=BQ=10$.

Дан параллелограмм $BCDE$, угол $CBE$ острый. Проведены высоты $CH$ и $CK$, точка $H$ лежит на стороне $BE$, а точка $K$ — на стороне $DE$. На стороне $BE$ отмечена точка $L$. Известно, что $CH=BL$ и $BC=CK$.

а) Докажите, что $CL=HK$.

б) Найдите площадь треугольника $BHK$, если $CH=BL=12$, $BC=CK=13$.

Дан параллелограмм $ABDF$, угол $BAF$ острый. Проведены высоты $BH$ и $BG$, точка $H$ лежит на стороне $AF$, а точка $G$ — на стороне $DF$. На стороне $AF$ отмечена точка $K$. Известно, что $BH=AK$ и $AB=BG$.

а) Докажите, что $BK=HG$.

б) Найдите площадь треугольника $AHG$, если $BH=AK=15$, $AB=BG=17$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и касается его высоты $AH$ в точке $K$. $KF$ — перпендикуляр к прямой $BC$. Длины отрезков $CH$, $HD$, $KF$ — последовательные натуральные числа в возрастающем порядке.

а) Докажите, что $AB=9$.

б) Найдите $AH$, если $AK:KH=1:2$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и касается его высоты $AH$ в точке $K$. $KF$ — перпендикуляр к прямой $BC$. Длины отрезков $CH$, $HD$, $KF$ составляют возрастающую арифметическую прогрессию.

а) Докажите, что $CH:HD=4:5$.

б) Найдите радиус окружности, если $AK:KH=3:4$ и разность арифметической прогрессии равна $3$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $M$ такую, что $BM:MC=2:3$, $DB=DM$.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}8$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что около четырёхугольника $ABPD$ можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=\sqrt{10}$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $ADE$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle ADC=110^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.
а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.
б) Найдите $AC:AP$, если $BC:AB=2{,}5$.

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.
а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.
б) Найдите $AC:AP$, если $AB:BC=3:8$.

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=\sqrt{3}$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.