Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Параллелограмм и ромб

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{12}$.

Прямая, перпендикулярная стороне $AB$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $K$, а диагональ $BD$ — в точке $L$, причём $AK:KC=1:3$, $BL:LD=2:1$.
а) Докажите, что прямая $KL$ делит сторону ромба $AB$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $KL=6$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $BE:EC=1:4$. Через точку $E$ перпендикулярно $BC$ провели прямую, которая пересекает диагонали $BD$ и $AC$ в точках $R$ и $M$ соответственно, при этом $BR:RD=1:3$.
а) Докажите, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите периметр ромба $ABCD$, если $MR=2\sqrt{3}$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $BE:EC=1:3$. Через точку $E$ перпендикулярно $BC$ провели прямую, которая пересекает диагонали $BD$ и $AC$ в точках $R$ и $M$ соответственно, при этом $BR:RD=1:2$.
а) Докажите, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $3:2$, считая от вершины $C$.
б) Найдите периметр ромба $ABCD$, если $MR=\sqrt{15}$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AL:AC=AB:BC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=21$, $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}4$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AB:AL=BC:AC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=24$, $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}6$.