Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Трапеция

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ И $CD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.
б) Найдите отношение $BH$ и $ED$, если $\angle BCD=135^\circ$.

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $С$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б)  Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB  =  21$, $BC  =  4$, $CD  =  20$, $AD  =  17$.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая - боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\dfrac{AP}{PD}=\sin \angle D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $3$ и $1$.

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точке $C$ и $M$.

а) Докажите, что угол $BAM$ равен углу $CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = 6$, а $BC = 4BM$.

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=3$, $AD=4$.

Сумма оснований трапеции равна $17$, а её диагонали равны $8$ и $15$.
a) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.

Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO=KO$.
б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\dfrac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD$.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO$, $CN=NO$.
а) Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение $AM:MB$, если $AO=OC$ и $BC:AD=17:31$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD$.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2$.

Сумма оснований трапеции равна $13$, а её диагонали равны $5$ и $12$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=15$ и $BD=8{,}5$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$, проведённая к основанию $AD$, делит его на два отрезка, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.

Сумма оснований трапеции равна $10$, а её диагонали равны $6$ и $8$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Точка $L$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На её стороне $AB$ взята точка $F$ так, что прямые $CF$ и $AL$ параллельны. Отрезки $CF$ и $BL$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $CO=OF$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BFC$ составляет $\dfrac{16}{49}$ площади всей трапеции $ABCD$.

Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. На её стороне $CD$ взята точка $L$ так, что прямые $DM$ и $BL$ параллельны. Отрезки $CM$ и $BL$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $BO=OL$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BCL$ составляет $\dfrac{25}{64}$ площади всей трапеции $ABCD$.

Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно трапеции $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка $QN$, если $BC=4$, $AD=22$, $AB=26$, $CD=28$, а угол $CPD$ — прямой.

Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно трапеции $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка $QN$, если $BC=4$, $AD=28$, $AB=32$, $CD=48$, а угол $CPD$ — прямой.

Сумма оснований трапеции равна $61$, а её диагонали равны $11$ и $60$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Сумма оснований трапеции равна $85$, а её диагонали равны $13$ и $84$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Окружность с центром $O$, расположенном внутри прямоугольной трапеции $ABCD$, проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны $AD$ в точке $K$. При этом отрезок $AB$ пересекает окружность в точке $T$.

а) Докажите, что угол $KCB$ равен углу $AKB$.

б) Найдите $AB$, если перпендикуляр $KH$ к стороне $BC$ равен $10$, а $DC=25$.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.
а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.
б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=2:3$, $AP:PB=1:2$.