Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ И $CD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.
б) Найдите отношение $BH$ и $ED$, если $\angle BCD=135^\circ$.

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $С$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б)  Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB  =  21$, $BC  =  4$, $CD  =  20$, $AD  =  17$.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая - боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\dfrac{AP}{PD}=\sin \angle D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $3$ и $1$.

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точке $C$ и $M$.

а) Докажите, что угол $BAM$ равен углу $CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = 6$, а $BC = 4BM$.