Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Трапеция

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.
а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.
б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=4:3$, $AP:PB=3:2$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $a$, а основание $AD=c$ больше основания $BC=b$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $CD$ и $AD$.
а) Докажите, что если $b+c>2a$, то окружность пересекает сторону $BC$ в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка $BC$, которая находится внутри окружности, если $c=12$, $b=10$, $a=8$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $a$, а основание $AD=c$ больше основания $BC=b$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $CD$ и $AD$.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону $BC$, то $b+c<2a$.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции $ABCD$, которая находится внутри окружности, если $c=12$, $b=6$, $a=10$.

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=7$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен $2{,}5$.

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $BC=16$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен $7$.