Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием, Квадратичная зависимость

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.$ Определите время $t$, если за это время автомобиль проехал $90$ метров.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H = H_0 + bt + at^2,$ где $H$ — высота столба воды (в м), $H_0 = 8$ м, $a = \dfrac{1}{72}$ м/мин$^2$, $b = -\dfrac{2}{3}$ м/мин, $t$ — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах. Определите время $t$ (в минутах), если он удалился на $72$ км.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi = \omega t + \beta \dfrac{t^2}{2},$ где $t$ — время в минутах, $\omega = 15$ град/мин — начальная угловая скорость, $\beta = 6$ град/мин$^2$ — угловое ускорение. Определите время $t$, если угол намотки достиг $2250^\circ$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h = 1{,}6 + 13t - 5t^2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы $T = T_0 + bt + at^2,$ где $t$ — время (в мин), $T_0 = 1600$ К, $a = -5$ К/мин$^2$, $b = 105$ К/мин. При температуре свыше $1870$ К прибор может испортиться. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.$ Определите время $t$, если за это время автомобиль проехал $36$ метров.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 23 \, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2 \, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}$. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $132$ метра. Ответ дайте в секундах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H(t) = H_0 + bt + at^2,$ где $H_0=0{,}625$ м, $a = \dfrac{1}{30}$ м/мин$^2$, $b = -\dfrac{1}{3}$ м/мин. Определите время $t$ (в минутах), пока вода вытекает из бака.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60$км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$
, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $21$км. Ответ дайте в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 32$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах. Определите время $t$ (в минутах), если он удалился на $154$ км.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 70$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $123$ км. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2},$ где $t$ — время в минутах, $\omega = 50$ град/мин — начальная угловая скорость, $\beta = 4$ град/мин$^2$ — угловое ускорение. Определите время $t$, если угол намотки достиг $2500^\circ$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h = 1,4 + 9t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $T = T_0 + bt + at^2,$ где $t$ — время (в мин.), $T_0 = 1380$ К, $a = -15$ К/мин$^2$, $b = 165$ К/мин. При температуре свыше $1800$ К прибор может испортиться. Найдите наибольшее время $t$, после которого нужно отключить прибор.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии $8$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $24$ километров?

Груз массой $0{,}25$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 6 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 0{,}8 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2},$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $5$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Груз массой $0{,}58$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 6 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 2 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2},$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0{,}9$ километра, приобрести скорость $150$ км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 6250 \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $100 \, \text{км/ч}$.

Два тела массой $m = 10 \, \text{кг}$ каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 8 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергия не менее $480$ джоулей.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h = 5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $1{,}3$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}2$ с? Ответ дайте в метрах.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h = 5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0} kt + \dfrac{g}{2} k^2 t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 5 \, \text{м}$ — начальная высота столба воды, $k = \dfrac{1}{700}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \dfrac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 20 \, \text{м}$ — начальная высота столба воды, $k = \dfrac{1}{200}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?