Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием, Квадратичная зависимость

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1400 \, \text{К}, \, a = -25 \, \text{К/мин}^2, \, b = 300 \, \text{К/мин}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1900$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = at^2 + bt + H_0$, где $H_0 = 6{,}25 \, \text{м}$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{49} \, \text{м/мин}^2$ и $b = -\frac{5}{7} \, \text{м/мин}$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2 \, \text{В}$, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = -45^\circ$. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2 \, \text{В}$, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = 45^\circ$. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Наблюдатель находится на высоте $h$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l = \sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R = 6400 \, \text{км}$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $25{,}6$ километра? Ответ дайте в метрах.

Наблюдатель находится на высоте $h$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l = \sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R = 6400 \, \text{км}$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $60$ километров? Ответ дайте в метрах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 3$ В, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = 60^\circ$. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем $1{,}5$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$ В, частота $\omega = 150^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = -90^\circ$. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1320$ K, $a = -10$ К/мин², $b = 80$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1440$ K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1190$ K, $a = -20$ К/мин², $b = 260$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1790$ K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h = 5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $1{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $1$ с? Ответ дайте в метрах.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{300} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{13}{30}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $9$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{140} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{8}{7}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $19$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \dfrac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$ (м), где $v_0 = 22$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). При каком наименьшем значении угла ($\alpha$ в градусах) мячик перелетит реку шириной $24{,}2$ м?

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \dfrac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$ (м), где $v_0 = 24$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). При каком наименьшем значении угла ($\alpha$ в градусах) мячик перелетит реку шириной $57{,}6$ м?

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $115{,}6$ см? Ответ дайте в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $44{,}1$ см? Ответ дайте в м/с.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $36$ метров. Ответ дайте в секундах.

При стрельбе из лука начальная скорость полёта стрелы $v_0$ (в м/с) и дальность полёта $L$ (в метрах) связаны формулой: $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$, где $g = 10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения, а $\alpha$ — угол вылета стрелы по отношению к горизонту (в градусах). Найди начальную скорость $v_0$, если $L = 26{,}45$ м, а $\alpha = 15^\circ$.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0=19$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $84$ м. Ответ выразите в секундах.