Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Вписанные и описанные окружности

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=23$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle NKL=\angle KLM=120^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=1$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что $AB+BC=4AC$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $ML=\dfrac{9}{5}$, $LN=3$.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM=MC$.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=5$, $BC=10$, $\angle BAD=60^\circ$.

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.
б) Найдите длину отрезка $NO$, если известно, что $AC=10$ и $AB=24$.

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $\angle ANB=2\angle ABC$.
б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$, если известно, что $AC=14$ и $AB=36$.

Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается её боковой стороны $CD$ в точке $M$. Луч $AM$ вторично пересекает окружность в точке $N$, а прямую $BC$ — в точке $K$, причём $AN=4$, $MN=12$.
а) Докажите, что $\angle AMD=\angle MCK$.
б) Найдите меньшее основание трапеции.

Задача $17.47$
Периметр треугольника $ABC$ равен $36$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что $AC=9$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB=90^\circ$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt{7}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^\circ$, $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=30^\circ$, $B_1C_1=5$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=135^\circ$, $B_1C_1=10$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=30^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=4\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=15^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=4\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=6\sqrt{3}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$, пересекающиеся в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Известно, что $\angle BAC=120^\circ$.
а) Докажите, что точки $B_1$, $C_1$, $H$ и $O$ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь треугольника $B_1C_1O$, если $BC=3$ и $\angle ABC=15^\circ$.

Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40^\circ$, $\angle ACB=85^\circ$.
а) Докажите, что $BM=CN$.
б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $7$.

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM=45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB=2\sqrt{7}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны.
б) Найдите длину стороны $AB$, если $AC=2$, $BC=\sqrt{10}$.

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=17$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$, которая касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3(\sqrt{3}-1)$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$, которая касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=12$.