Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача, Вписанные и описанные окружности

Дан треугольник $BDC$, в котором $\angle CBD=2\angle BCD$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $BCD$. Около треугольника $BOD$ описана окружность, которая пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

а) Докажите, что треугольники $BCD$ и $BKD$ подобны.

б) Найдите $BC$, если $CD=\sqrt{30}$ и $BD=5$.

Дан треугольник $KLM$, в котором $\angle LKM=2\angle KLM$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $KLM$. Около треугольника $KOM$ описана окружность, которая пересекает сторону $LM$ в точке $T$.

а) Докажите, что треугольники $KLM$ и $KTM$ подобны.

б) Найдите $KL$, если $LM=\sqrt{18}$ и $KM=4$.

Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $L$ в точках $C$ и $D$. Отрезок $AD$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle CLD=2\angle ADC$.

б) Найдите расстояние от точки $L$ до прямой $CD$, если $AC=16$, $CD=44$.

Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $P$ в точках $T$ и $Q$. Отрезок $RQ$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle TPQ=2\angle TQR$.

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $TQ$, если $TQ=28$, $TR=8$.

В четырёхугольник $CDEF$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $EF$ в точке $B$, $\angle DEF=90^\circ$, $\angle DCF=\angle BFC=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $B$ лежит на прямой $CO$.

б) Найдите $EF$, если $BC=6\sqrt{3}$.

В четырёхугольник $ACDE$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $DE$ в точке $F$, $\angle CDE=90^\circ$, $\angle CAE=\angle AED=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $F$ лежит на прямой $AO$.

б) Найдите $DE$, если $AF=4\sqrt{3}$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=2\angle ABC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC=10$ и $AC=6$.

Дан остроугольный треугольник $MPK$. Известно, что $\angle KMP=2\angle MPK$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $MPK$. Вокруг треугольника $MOP$ описана окружность, которая пересекает сторону $PK$ в точке $T$.

а) Докажите, что углы $KMT$ и $PMT$ равны.

б) Найдите $MP$, если $PK=5$ и $MK=3$.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является биссектрисой угла $OBH$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если высота, биссектриса и медиана, проведённые к стороне $AC$, равны $\dfrac{5\sqrt{7}}{4}$, $\dfrac{10}{3}$ и $\dfrac{\sqrt{46}}{2}$ соответственно.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является биссектрисой угла $OBH$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $\angle B=90^\circ$, высота $BH=\dfrac{120}{13}$ и биссектриса $BL=\dfrac{120\sqrt{2}}{17}$.

В ромб $ABCD$ вписана окружность, которая делит его большую диагональ $AC$ на три части в отношении $AM:MN:NC=1:3:1$.

а) Докажите, что эта окружность делит меньшую диагональ $BD$ ромба в отношении $BF:FG:GD=1:8:1$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $ABFM$, если радиус окружности равен $6$.

В ромб $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, которая делит его большую диагональ $AC$ на три части в отношении $AM:MN:NC=4:5:4$.

а) Докажите, что эта окружность делит меньшую диагональ $BD$ ромба в отношении $BF:FG:GD=1:24:1$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $BOMK$, если радиус окружности равен $5$.

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $\angle ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.
а) Докажите, что $BG=(\sqrt{2}-1)R$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BNOG$, если $R=6$.

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $60^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AB=DE$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $DEPN$, если $R=7\sqrt{3}$.

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $120^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AD=3BC$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите $PN$, если $R=13$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если известно, что $FP=12$ и $PK=5$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите площадь ромба $ABCD$, если известно, что $FP=6$ и $PK=8$.

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $28$, $\angle BAC=120^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $24$, $\angle BAC=60^\circ$.

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=6$, $r=4$.

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=5$, $r=3$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC=7$ и $AB=CD=20$ вписан в окружность радиусом $R=16$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC=14$ и $AB=CD=40$ вписан в окружность радиусом $R=25$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.