Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Арифметика остатков и делимость

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на $3$ и оканчиваются на $4$.

а)  Может ли сумма составлять $282$?

б)  Может ли их сумма составлять $390$?

в)  Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна $2226$?

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $403$ и $2013$?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число $403$?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $1$ и квадрат натурального числа $n$, большего $1$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $305$ и $1511$?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число $305$?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^{2}$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $30 033$.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число $303$?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $31$?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $30 021$.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число $351$? б

) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $11$?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На новогодней ёлке в группе детского сада Дед Мороз дарит детям конфеты. У него есть $40$ конфет отдельно и $28$ коробок с конфетами по $3$ конфеты в каждой (все конфеты и в коробках, и без коробок — одинаковые). Каждому ребёнку Дед Мороз дарит определённое количество конфет в зависимости от того, как ребёнок проявил себя в течение года, при этом открывать коробки и делить их нельзя.
а) Возможно ли это, если Дед Мороз должен раздать все свои конфеты, в группе $31$ ребёнок и все дети должны получить конфет поровну?
б) В группе $23$ ребёнка. У Пети сегодня день рождения, поэтому ему надо подарить $14$ конфет, а остальные раздать детям поровну. Можно ли это сделать?
в) При каком максимальном количестве детей в группе Дед Мороз в любом случае сможет подарить каждому столько конфет, сколько запланировано? (Конечно, предполагается, что сумма запланированных чисел конфет для всех детей не больше общего количества конфет у Деда Мороза.)

На новогодней ёлке в группе детского сада Дед Мороз дарит детям конфеты. У него есть $50$ конфет отдельно и $30$ коробок с конфетами по $3$ конфеты в каждой (все конфеты и в коробках, и без коробок — одинаковые). Каждому ребёнку Дед Мороз дарит определённое количество конфет в зависимости от того, как ребёнок проявил себя в течение года, при этом открывать коробки и делить их нельзя.
а) Возможно ли это, если Дед Мороз должен раздать все свои конфеты, в группе $35$ детей и все они должны получить конфет поровну?
б) В группе $27$ детей. У Паши сегодня день рождения, поэтому ему надо подарить $10$ конфет, а остальные раздать детям поровну. Можно ли это сделать?
в) При каком максимальном количестве детей в группе Дед Мороз в любом случае сможет подарить каждому столько конфет, сколько запланировано? (Конечно, предполагается, что сумма запланированных чисел конфет для всех детей не больше общего количества конфет у Деда Мороза.)

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое, не обязательно одинаковое, количество литров воды. За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) В четырёх бочках налито $31$, $35$, $42$ и $96$ литров воды соответственно. Можно ли не более чем за три переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Всегда ли можно уравнять количество воды в восьми бочках не более чем за шесть переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в $30$ бочках?

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое, не обязательно одинаковое, количество литров воды. За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) В пяти бочках налито $11$, $15$, $18$, $23$ и $53$ литра воды соответственно. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Всегда ли можно уравнять количество воды в шести бочках не более чем за четыре переливания?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в $20$ бочках?

Гелевая ручка стоит $15$ рублей, а шариковая — $11$ рублей. Нужно купить такие ручки, имея всего $380$ рублей и соблюдая дополнительное условие: число гелевых ручек не должно отличаться от числа шариковых больше чем на четыре.
а) Можно ли при таких условиях купить $28$ ручек?
б) Можно ли при таких условиях купить $31$ ручку?
в) Какое наибольшее число ручек можно купить при таких условиях?

Синий маркер стоит $25$ рублей, а чёрный — $18$ рублей. Нужно купить такие маркеры, имея всего $450$ рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих маркеров не должно отличаться от числа чёрных больше чем на восемь.
а) Можно ли при таких условиях купить $21$ маркер?
б) Можно ли при таких условиях купить $24$ маркера?
в) Какое наибольшее число маркеров можно купить при выполнении всех этих условий?

В некотором государстве имеют хождение монеты достоинством $7$, $13$ и $25$ гиней. Житель этого государства заплатил за покупку несколько монет и получил в качестве сдачи на $2$ монеты больше.
а) Могла ли покупка стоить $100$ гиней?
б) Могла ли покупка стоить $60$ гиней?
в) Какова минимально возможная стоимость такой покупки?

В некотором государстве имеют хождение монеты достоинством $5$, $13$ и $29$ фунтиков. Житель этого государства заплатил за покупку несколько монет и получил в качестве сдачи на $2$ монеты больше.
а) Могла ли покупка стоить $100$ фунтиков?
б) Могла ли покупка стоить $70$ фунтиков?
в) Какова минимально возможная стоимость такой покупки?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $3$ письма, или $20$ писем, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $5$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $6$ писем, или $21$ письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $7$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется $k$ кляссеров, причём $7$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+3$ кляссеров и также $7$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше $160$, но меньше $170$ ячеек, а в маленьком — больше $100$, но меньше $120$ ячеек.
а) Может ли $k$ быть равно $4$?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Для набора $50$ различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число $-300$?
б) Может ли одним из этих чисел быть число $300$?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе $1$ и $A$).
а) Может ли $k$ быть равно $7$?
б) Может ли $k$ быть равно $25$?
в) Найдите наибольшее $k$.

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе $1$ и $A$).
а) Может ли $k$ быть равно $15$?
б) Может ли $k$ быть равно $28$?
в) Найдите все числа $A$, для которых $k\ge 30$.