Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Процентные вычисления (средние баллы, доли)

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $21\%$.
a) Может ли в этом классе быть $5$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе $№\,1$ вырасти в $2$ раза?
б) Средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№\,2$ равняться $1$?
в) Средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№\,2$.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,2$ средний балл равнялся $42$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?
б) Каждый учащийся школы $№\,2$, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы $№\,1$. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы $№\,2$?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $25\%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $20\%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $60\%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $21\%$.
а) Может ли в этом классе быть $5$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся, а суммарно тест писали $9$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе $№\,1$ уменьшиться в $10$ раз?

б) Средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№\,2$ равняться $7$?

в) Средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№\,2$.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,1$ средний балл равнялся $18$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?
б) В школе $№\,1$ все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе $№\,2$ писали тест более $10$ учащихся и после перехода одного учащегося в эту школу и пересчета баллов средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $75 \%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $80 \%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $40 \%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $46\%$.
а) Может ли в этом классе быть $9$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $55\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

В школе перед началом учебного года было сформировано несколько десятых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как $5:2$ или как $2:5$. После этого в параллель десятых классов школы приняли ещё трёх мальчиков и двух девочек.
а) Удастся ли теперь разбить всех десятиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $4:3$ или $3:4$?
б) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $5:3$ или $3:5$. Могло ли при этом получиться ровно пять классов?
в) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $5:3$ или $3:5$. Было решено отправить всех десятиклассников на экскурсию группами по $56$ человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было десятиклассников?

В школе перед началом учебного года было сформировано несколько десятых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как $7:4$ или как $4:7$. После этого в параллель десятых классов школы приняли ещё $5$ мальчиков и $3$ девочек.
а) Удастся ли теперь разбить всех десятиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $6:5$ или $5:6$?
б) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $7:5$ или $5:7$. Могло ли при этом получиться ровно шесть классов?
в) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $7:5$ или $5:7$. Было решено отправить всех десятиклассников на экскурсию группами по $132$ человека, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было десятиклассников?

Саша проходит онлайн-курс английского языка в приложении на смартфоне. За прохождение каждого урока он может получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора смартфона уменьшается на $3\%$ при получении $3$ звёзд, на $6\%$ — при получении $2$ звёзд, на $9\%$ — при получении $1$ звезды (все проценты рассчитываются от максимального заряда). Саша прошёл несколько уроков.
а) Мог ли заряд смартфона уменьшиться ровно на $17\%$?
б) Сколько уроков было пройдено, если заряд смартфона уменьшился на $30\%$ и суммарно было получено $10$ звёзд?
в) За прохождение уроков начисляются призовые баллы: $5000$ баллов за $1$ звезду, $7000$ баллов за $2$ звезды, $10\,000$ баллов за $3$ звезды. Какое наибольшее количество баллов мог получить Саша, если заряд смартфона уменьшился на $30\%$ и суммарно было получено $10$ звёзд?

Лёша проходит онлайн-курс английского языка в приложении на смартфоне. За прохождение каждого урока он может получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора смартфона уменьшается на $3\%$ при получении $3$ звёзд, на $6\%$ — при получении $2$ звёзд, на $9\%$ — при получении $1$ звезды (все проценты рассчитываются от максимального заряда). Лёша прошёл несколько уроков.
а) Мог ли заряд смартфона уменьшиться ровно на $65\%$?
б) Сколько уроков было пройдено, если заряд смартфона уменьшился на $42\%$ и суммарно было получено $14$ звёзд?
в) За прохождение уроков начисляются призовые баллы: $4000$ баллов за $1$ звезду, $6000$ баллов за $2$ звезды, $8000$ баллов за $3$ звезды. Какое наибольшее количество баллов мог получить Лёша, если заряд смартфона уменьшился на $42\%$ и суммарно было получено $14$ звёзд?

В классе больше $10$, но не больше $28$ учащихся, а доля девочек не превышает $22\%$.
а) Может ли в этом классе быть $4$ девочки?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

В классе больше $10$, но не больше $27$ учащихся, а доля девочек не превышает $26\%$.
а) Может ли в этом классе быть $6$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?