Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Операции с числами и цифрами

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?

б)  Средний балл в школе №1 вырос на $10\%$, средний балл в школе №2 также вырос на $10\%$. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?

в)  Средний балл в школе №1 вырос на $10\%$, средний балл в школе №2 также вырос на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.
а)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C$ если $A>140$.
б)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C$ если $440\leq A< 500$. 
в)  Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C$.

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное $100$.
а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $90$?
б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $88$?
в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. S – это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли S = 421?

б) Может ли S = 9,2?

в) Какое наибольшее может быть S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье - сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной $420$?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной $419$?
в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число - трехзначное, а последнее равно $5$?

В ящике лежат $73$ овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна $1000$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше $1000$ г, равна $988$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше $1000$ г, равна $1030$ г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше $1000$ г и овощей массой больше $1000$ г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно $11$ овощей, масса каждого из которых равна $1000$ г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. $S\, –$ это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли $S = 421$?

б) Может ли$S = 9{,}2$?

в) Какое наибольшее может быть $S$, если известно, что 4 исходных числа не меньше $400$ и не больше $999$?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $6$, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру $9$, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $9$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $19$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске написано $n$ единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано $n = 12$ единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

$1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147$.

а) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =60$?

б) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =80$?

в) Чему могло равняться $n$, если полученная сумма чисел равна $150$?

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

a) Могло ли из числа $65$ получиться число $41$?

б) Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?

в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $2376$.
В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число $17$ заменили на число $71$.
a) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $6$ раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Серёжа переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Серёжа) и получил двузначное число $C$.
a) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A > 150$?
б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leq A < 600$?
в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.
a) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на $6$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть на доске?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $1$, к каждому числу из второй группы — цифру $8$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $4$ раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $18$ раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в $11$ раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S$.

а) Может ли $S$ быть равной $16 \dfrac{5}{6}$?

б) Может ли $S$ быть равной $569 \dfrac{29}{126}$?

в) Найдите наибольшее целое значение $S$, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 200$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 320$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $340$ является суммой $S$ для некоторых четырехзначных чисел $A$ и $B$?

Из набора цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $5$, $7$ и $9$ составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны $45$.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться $2205$?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться $3435$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре? $144$

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A> 150$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leqslant A< 600$?

в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры $4$ и $9$ (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $107$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $289$?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $3986$?

а) Можно ли представить число $2043$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число $599$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру $7$. Сумма написанных чисел равна $810$.

а) Может ли на доске быть ровно $24$ чётных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на $7$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $7$, может быть на доске?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $3$, к каждому числу из второй группы — цифру $7$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $8$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $17$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $6$, к каждому числу из второй группы — цифру $9$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $9$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $19$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 100$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 400$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $260$ является суммой $S$ для некоторых четырехзначных чисел $A$ и $B$?