Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Среднее арифметическое и наборы чисел

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит $11$, а сумма которых больше $110$, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше $110$, но больше:
а) $99$;
б) $101$;
в) $100$.

В каждой клетке квадратной таблицы $6\times6$ стоит натуральное число, меньшее $7$. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

На доске написано $n$ чисел $a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)$. Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_{i}\%$. При этом либо $r_{i} =2\%$, либо число $a_{i}$ уменьшается на 2, то есть становится равным $a_{i} -2$. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ больше 2, при этом сумма чисел $a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}$ уменьшилась более чем на $2n$?в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по $2$, по $3$ и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа $2$, $3$, $5$, то на доске будет выписан набор $2$, $3$, $5$, $5$, $7$, $8$, $10$.

а) На доске выписан набор $−11$, $−7$, $−5$, $−4$, $−1,$ $2$, $6$. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число $0$ встречается ровно $4$ раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы других чисел. Например, $40, 45, 50$ - удачная тройка.
а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50,60$ и ещё одно число, большее $60$?
б) Найдется ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?
в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске написано более $40$, но менее $48$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $− \ 3$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $4$, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $− \ 8$.

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

На доске написано $n$ чисел $a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)$. Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_{i}\%$. При этом либо $r_{i} =2\%$, либо число $a_{i}$ уменьшается на 2, то есть становится равным $a_{i} -2$. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).

а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ больше 2, при этом сумма чисел $a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}$ уменьшилась более чем на $2n$?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.<br>Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$.

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B -$ шестое по величине число, а $S -$ среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно $400$?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$?
в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.  
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $403$ и $2013$?  
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число $403$?  
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n$, большего $1$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a + b; a - b)$.
a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$?
в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.
a) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на $6$?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть на доске?

Для набора $60$ различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.
a) Может ли одним из этих чисел быть число $-400$?
б) Может ли одним из этих чисел быть число $400$?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S - B$.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $6$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $2$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $5$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $60$ и меньше $140$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано $100$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $5120$.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число $230$?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа $14$?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных $14$, может быть на доске?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 60$?

б) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 80$?

в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму $132$?

На доске написано $30$ натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно $3$, а каждое красное число кратно $7$. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395 = 3 + 6 +$... $+ 90$, если все числа на доске кратны $3$?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна $1067$?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна $1067$?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $365$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным $200$?

б) Может ли $N$ быть равным $109$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от $1$ до $12$. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна $32$.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна $29$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, $40$, $45$, $50$ удачная тройка.

а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50$, $60$ и ещё одно число, большее $60$?

б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?

в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на $20$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на $21$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на $15$?

в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k$.