Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Среднее арифметическое и наборы чисел

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $11$?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $6$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $12$.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться $14$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $8{,}4$?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $8$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $16$.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться $18$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $11{,}2$?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $40$ и меньше $100$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $25$ и меньше $85$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $45$ и меньше $120$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $113$, если $n = 50$?

б) Можно ли получить сумму $114$, если $n = 50$?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n = 50$?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $340$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $3$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на $3$.

а) Может ли $N$ быть равным $240$?

б) Может ли $N$ быть равным $129$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $400$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $3$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на $3$.

а) Может ли $N$ быть равным $360$?

б) Может ли $N$ быть равным $149$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

В тетради написано более $44$, но менее $52$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $-5$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $6$, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $-12$.
а) Сколько чисел написано в тетради?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

В тетради написано более $52$, но менее $65$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $-7$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $12$, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $-24$.
а) Сколько чисел написано в тетради?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

На доске записано $12$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно $9$, а среднее арифметическое семи наибольших равно $19$.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться $7$?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться $15$?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех этих чисел.

На доске записано $12$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно $8$, а среднее арифметическое семи наибольших равно $16$.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться $6$?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться $13$?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех этих чисел.

Последовательность $a_1,a_2,\ldots,a_9$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1=2$, $M_2=3$.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=3$.
б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=4$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $M_3$.

Коля записал на доске $20$ различных натуральных чисел, каждое из которых меньше $1000$. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно $625$.
а) Может ли на доске быть записано число $10816$?
б) Может ли на доске быть записано число $93636$?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?

Коля записал на доске $15$ различных натуральных чисел, каждое из которых меньше $5000$. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно $2401$.
а) Может ли на доске быть записано число $10816$?
б) Может ли на доске быть записано число $40401$?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?

Есть $60$ карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше $1$. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на $3$ — красную, если на $4$ — синюю, если на $5$ — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше $200$?
б) Получилось, что на $20$ карточках есть синяя и зелёная отметки, на $20$ карточках есть синяя и красная отметки, на $20$ карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на $45$ карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Есть $60$ карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше $1$. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на $3$ — красную, если на $4$ — синюю, если на $5$ — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше $200$?
б) Получилось, что на $k$ карточках есть только синяя и зелёная отметки, на $k$ карточках — только синяя и красная, на $k$ карточках — только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось $37$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше $100$ и записано с помощью цифр $1$, $3$, $5$, $7$ или $9$. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на $6$ меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше $100$ и записано с помощью цифр $1$, $3$, $5$, $7$ или $9$. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на $13$ больше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1,p_2,\ldots,p_k$ вычисляется по формуле $\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k}$.
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно $45$?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1,p_2,\ldots,p_k$ вычисляется по формуле $\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k}$.
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно $36$?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $150$, а во втором каждое число равно $50$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $78$.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $71$?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $70$?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?