Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Среднее арифметическое и наборы чисел

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $(n \ge 3)$.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $14$?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $900$?
в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $123$.

Натуральные числа от $1$ до $12$ разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные $6$ чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Каждое из чисел $1,-2,-3, 4,-5, 7,-8, 9, 10,-11$ по одному записывают на $10$ карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел $1,-2,-3, 4,-5, 7,-8, 9, 10,-11$. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные $10$ сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Последовательность $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($n\geqslant3$) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних справа и слева членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна $60$.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n=8$?