Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Среднее арифметическое и наборы чисел

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $175$, а во втором каждое число равно $80$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $145$.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $132$?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $135$?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $7$ раз больше, либо в $7$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $9177$.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $8$ раз больше, либо в $8$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $4040$.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего $1$.
а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна $65$?
б) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна $62$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего $1$.
а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна $26$?
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна $23$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Последовательность натуральных чисел $(a_n)$ состоит из $400$ членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на $98$ меньше предыдущего.
а) Может ли последовательность $(a_n)$ содержать ровно $5$ различных чисел?
б) Чему может равняться $a_1$, если $a_{100}=75$?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности $a_n$?

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего $1$.
а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна $50$?
б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна $47$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
– умножить число на $4$;
– прибавить к числу $12$;
– если число не равно $9$, то вычеркнуть из числа цифру $9$. Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа $47$ число $2$?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа $7$ число $77$?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2015$, может быть записано на доске, если $N=1$.

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
– умножить число на $4$;
– прибавить к числу $12$;
– если число не равно $6$, то вычеркнуть из числа цифру $6$. Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа $34$ число $1$?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа $35$ число $60$?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2000$, может быть записано на доске, если $N=1$.

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше $80$ и не больше $170$. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на $2$. Числа в последовательности могут повторяться.
а) Может ли быть $40$ различных чисел в последовательности?
б) Может ли быть $80$ различных чисел в последовательности?
в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше $60$ и не больше $130$. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на $2$. Числа в последовательности могут повторяться.
а) Может ли быть $35$ различных чисел в последовательности?
б) Может ли быть $60$ различных чисел в последовательности?
в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

На доске написано не менее двух трёхзначных чисел (не обязательно различных), в записи которых нет нулей. У каждого из этих чисел стёрли вторую цифру (так, например, число $827$ стало числом $87$).
а) Приведите пример такого набора чисел, что сумма полученных чисел в $16$ раз меньше суммы исходных.
б) Может ли сумма полученных чисел быть в $5{,}5$ раз меньше суммы исходных?
в) Найдите наименьшее количество чисел на доске, если сумма полученных чисел в $17$ раз меньше суммы исходных.

На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Для любых трёх натуральных чисел $a,b$ и $c$ (необязательно различных) вычисляют четвертое число $d$ по формуле $d=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$.
а) Существуют ли $a,b$ и $c$, для которых $d$ равно $19$?
б) Существуют ли $a,b$ и $c$, для которых $d$ равно $58$?
в) Какое наибольшее значение может принимать $d$, если $a,b$ и $c$ —двузначные числа и $d$ делится на $4$?

На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Из $24$ последовательных нечётных чисел $1$, $3$, $5$, $\ldots$, $47$ выбрали $9$ различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ — пятое по величине среди этих чисел, а $B$ — их среднее арифметическое.
а) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{2}{9}$?
б) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{5}{9}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $B-A$.

Учитель задумал несколько необязательно различных натуральных чисел. Эти числа и результаты всех их возможных произведений по два числа, по три числа и так далее он выписал на доску. Если какое-то число, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число, а другие равные ему числа стирают. Например, если задуманы числа $1$, $5$, $6$, $5$, то на доске будет набор $1$, $5$, $6$, $30$, $25$, $150$.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $2$, $3$, $5$, $6$, $9$, $10$, $15$, $18$, $30$, $45{,}90$.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $3$, $5$, $7$, $9$, $15$, $21$, $35$, $45$, $105$, $315{,}945$?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в которомравно $82$.

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции. Сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число $A$.
а) Может ли число $A$ равняться среднему арифметическому пяти чисел, выбранных изначально?
б) Может ли число $A$ быть в пять раз больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?
в) В какое наибольшее целое число раз число $A$ может быть больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?

Каждый из $32$ студентов написал или одну из двух контрольных работ, или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от $0$ до $20$ включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил $14$. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов. При этом если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее. Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S<14$.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если $S=11$?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если $S=11$?

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна $99$?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна $9$. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно $6{,}5$. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен $128$. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число $686$ являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число $496$ являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

В последовательности из $80$ целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны $0$.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным $20$?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен $128$. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число $686$ являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число $496$ являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Есть синие и красные карточки. Всего карточек $50$ штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно $16$. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое число на красной. Числа на синих карточках увеличили в $2$ раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно $31{,}2$.
а) Может ли быть $10$ синих карточек?
б) Может ли быть $10$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от $0$ до $12$ включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{25}$?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{35}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.