Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Разные задачи

В наборе 100 гирек весом 1, 2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Есть числа $A$ и $B$. Из них можно сделать числа $A + 2$ и $B - 1$ или $A - 1$ и $B + 2$, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что $A = 5$, $B = 7$.
a) Можно ли за $50$ ходов создать пару, где одно из чисел равно $100$?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна $400$?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали $100$?

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
a) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?
б) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём $5$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+2$ кляссеров и также $5$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше $150$, но меньше $160$ ячеек, а в маленьком — больше $100$, но меньше $120$ ячеек.
a) Может ли $k$ быть равно $3$?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?
* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$ за один ход можно получить пару $(a + 2; b - 1)$ или $(a - 1; b + 2)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(5; 7)$.

а) Можно ли за $50$ таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно $100$?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна $400$?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили $100$?

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a> b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно $400$?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$? в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $200$ см на куски длиной $1$ см?

Из правильной несократимой дроби $\dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\dfrac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\dfrac{2}{3}$ получить дробь $\dfrac{29}{41}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\dfrac{6}{7}$?

в) Несократимая дробь $\dfrac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\dfrac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a + b; 3b - a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a - c| + |b - d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Есть три коробки: в первой коробке $97$ камней, во второй — $104$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $89$, а в третьей — $15$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $201$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1001$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение семи дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение восьми дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $40$ фотографий?

Есть $4$ камня, каждый массой $7$ тонн, и $9$ камней, каждый массой $22$ тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила $8$ тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Есть $16$ монет по $2$ рубля и $29$ монет по $5$ рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму $175$ рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму $176$ рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по $1$ рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от $1$ рубля до $180$ рублей включительно?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$ писем, или $16$ писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно $7$ писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $300$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $151$?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от $100$ до $600$ включительно?

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $300$ см на куски длиной $1$ см?

Есть три коробки: в первой коробке $64$ камня, во второй — $77$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $64$ камня, во второй — $59$, а в третьей — $18$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $141$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке? $325$

Есть четыре коробки: в первой коробке $101$ камень, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой — $4$?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться $306$ камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1615$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение пяти дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение шести дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $30$ фотографий?

Чтобы сдать экзамен, студенту нужно последовательно пройти $5$ тестов. Он не сдаст экзамен, если покажет плохие результаты более чем в половине тестов. На экзамен пришли $100$ студентов, и оказалось, что в каждом тесте ровно половина из них показала плохие результаты.
а) Могли ли не сдать экзамен ровно $75$ студентов?
б) Могли ли не сдать экзамен ровно $90$ студентов?
в) Какое наибольшее количество студентов могло не сдать экзамен?

Чтобы сдать экзамен, студенту нужно последовательно пройти $5$ тестов. Он не сдаст экзамен, если покажет плохие результаты более чем в половине тестов. На экзамен пришли $100$ студентов, и оказалось, что в каждом тесте ровно половина из них показала плохие результаты.
а) Могли ли не сдать экзамен ровно $75$ студентов?
б) Могли ли не сдать экзамен ровно $90$ студентов?
в) Какое наибольшее количество студентов могло не сдать экзамен?

В группе школьного чата поровну мальчиков и девочек. Мальчики отправляли сообщения девочкам. Каждый мальчик отправил или $3$, или $16$ сообщений, причём и тех и других мальчиков было не менее двух. Возможно, что какой-то мальчик отправил какой-то девочке несколько сообщений.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девочка получила ровно $5$ сообщений?
б) Какое наименьшее количество девочек могло быть в группе, если известно, что все они получили сообщений поровну?
в) Пусть все девочки получили различное количество сообщений (возможно, какая-то девочка не получила сообщений вообще). Какое наибольшее количество девочек могло быть в такой группе?