В наборе 100 гирек весом 1, 2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм. а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г? б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов? в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

а) Средняя масса трёх гирек равнялась 5 граммов, а после добавления четвертой стала равна 6 граммов. Значит, масса добавленной гирьки равна \(4\cdot 6-3\cdot 5=9\) граммов, что невозможно, поскольку такая гирька уже есть в кучке. б) Пусть в первой куче было \(n\) гирек, а их средняя масса равнялась \(a\) г. Тогда сумма масс всех гирей в ней равнялась \(na\) г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой \(k\) г, в первой куче стало \(n+1\) гирек, их средняя масса стала равна \(a+1\) г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна \(na+k\) г. Таким образом, \(( n+1)( a+1) =na+k\leftrightarrow na+n+a+1=na+k\leftrightarrow a=k-n-1\) Следовательно, число \(a\) целое и не может равняться 7,5. в) Сумма масс \(n\) гирек не меньше \(1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\) следовательно, \(a \geqslant \frac{n+1}{2}\) В первую кучу переложили гирьку массой \(k=a+n+1\) (г). Масса этой гирьки не превосходит 100 г, откуда получаем: \(100\geqslant k=a+n+1\geqslant \frac{n+1}{2} +n+1\) поэтому \(\frac{3}{2}(n+1) \leqslant 100\) откуда \(n\leqslant 65\frac{2}{3}\) Следовательно, наибольшее значение \(n\) не превосходит 65. Покажем, что могло быть \(65\) гирек. Если в первой куче лежало 65 гирек массой \(1~г, 2~г, \dotsc , 65~г\), и к ним добавили гирьку массой \(\frac{3}{2}(65+1) =99\) г, то средняя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 65. Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 65.

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу. а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней? б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней? в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Пусть Вася в 1-ый день решил \(x\) задач, а Петя \(y\) задач. Тогда в \(n\)-ый день Вася решит \(x+n-1\) задачу. Всего Вася решит \((\frac{2x+n-1}{2}) \cdot n\) задач. Петя в \(m\)-ый день решит \(y+2(n-1)\) задач. Всего Петя решит \(\frac{y+2( m-1) +y}{2} \cdot m\). \(n=m=5\), количество решенных задач одинаково. \(\frac{2x+4}{2} \cdot 5=\frac{2y+2\cdot 4}{2} \cdot 5\\ x=y+2\) Да, возможно, если Вася в первый день решит на 2 задачи больше, чем Петя. б) \(n=m=10\\ \frac{2x+9}{2} \cdot 10=\frac{2y+18}{2} \cdot 10\\ x=y+4, \! 5\) \(\Rightarrow\) Вася должен решить в первый день на \(4, \! 5\) задачи больше, чем Петя. Но, так как каждый решает натуральное число задач, получается противоречие. Такое не могло получиться. в) Если \(n=m=7\), то Петя решил задач > чем Вася \(\frac{2y+12}{2} \cdot 7 >\frac{2x+6}{2} \cdot 7\\ 2y+12 >2x+6\\ x y\), значит \(x=y+1\) или \(x=y+2\). \(\frac{2x+a-1}{2} \cdot n=\frac{2y+2( m-1)}{2} \cdot m\), т.к. оба решили сборник целиком. Для того, чтобы количество задач было наименьшим, \(y\) и \(m\) должно быть наименьшим. \(m\) наименьшее 7, нужно получить целое \(n\) \(m=7, y=1, x=2,\frac{3+n}{2} \cdot n=49,D=401~-~иррационально\\ m=7, y=1, x=3,\frac{5+n}{2} \cdot n=49,D=417~-~иррационально\\ m=7, y=2, x=3,\frac{5+n}{2} \cdot n=56,D=473~-~иррационально\\ m=7, y=2, x=4,\frac{7+n}{2} \cdot n=56,D=497~-~иррационально\\ m=7, y=3, x=4, иррационально\\ m=7, y=3, x=5, иррационально\\ m=8, y=1, x=2, иррационально\\ m=8,y=1, x=3,\ иррационально\\ m=8, y=2, x=3, иррационально\\ m=8, y=2, x=4, \frac{7+n}{2} \cdot n=72,( 7+n) n=72\cdot 2\\ n=9\) \(m=8, y=3, x=4\) и так далее, правая часть уравнения увеличивается, что не удовлетворяет условию \(m=9, y=1, x=2\) и так далее, дадут целые числа, которые больше 72, что нам не подходит Ответ: а) могло, б) не могло, в) 72.

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4? б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

а) Да, могло, например, если перекладывали таким образом: \(101, 102, 103, -\\ 100, 101, 102, 3\\ 99, 100, 101, 6\\ 98, 103, 100, 5\\ 97, 102, 103, 4\) б) Если в четвертой коробке будут все 306 камней, то остальные окажутся пусты. В каждой коробке количество камней либо уменьшается на 1, либо увеличивается на 3. Значит, после каждого действия меняется четность количества камней в каждой коробке. В 1 и 2 коробках изначально разная четность, значит, она всегда и будет разной. \(\Rightarrow\) Нет, не могло, потому что мы хотим получить случай, когда в 1 и 2 коробке по 0 камней (у них одинаковая четность - а это невозможно). в) Оценка: У первой и третьей коробки одинаковая четность. У второй и четвертой - тоже (из пункта б). Начальная разница камней в 1 и 3 коробках равна 2 (103-101=2). Если мы вычтем из каждой по одному камню, эта разница не изменится. Если вычтем из одной 1 камень, а в другую прибавим 3 камня, разница увеличится или уменьшится на 4. То есть делимость на 4 разности количества не меняется. Значит, в первой и третьей коробках не может быть одинаковое количество камней (если это верно, то разность количества камней равна 0, но мы выяснили, что она имеет остаток 2 при делении на 4). Аналогично со второй и четвертой коробками: начальная разница 102, причем 102 не делится на 4. Значит, одинакового количества камней в коробках быть не может. Предположим, что в 1 и 3 коробках четное количество камней, а во 2 и 4 - нечетное. Наименьшее количество камней в 3 коробке равно 0, в 4 - 1. Тогда во второй коробке наименьшее нечетное число, не равное 1 (выяснили, что везде разное количество камней), то есть во 2 коробке 3 камня. Значит, максимальное количество камней в первой коробке равно 306-3-0-1=302. Предположим, что в 1 и 3 коробках нечетное количество камней, а во 2 и 4 - четное. Наименьшее количество камней в 3 коробке равно 1, в 4 - 0. Тогда во второй коробке наименьшее четное число, не равное 0 (выяснили, что везде разное количество камней), то есть во 2 коробке 2 камня. Значит, максимальное количество камней в первой коробке равно 306-0-1-2=303. 303>302, построим пример для него (так как ищем наибольшее число камней). Пример: \(101, 102, 103, 0\\ 100, 101, 102, 3\) Повторяем 25 таких ходов (переносим из 1, 2, 3 коробки по одному камню в 3-ю) \(\dotsc \\ 76, 77, 78, 75\\ 75, 76, 77, 78\\ 78, 75, 76, 77\) Повторяем 75 таких ходов (из 2, 3, 4 коробки по одному камню в 1-ю) \(\dotsc \dotsc \\ 300, 1, 2, 3\\ 303, 0, 1, 2\) Получили пример, значит, 303 камня действительно можно получить. Ответ: а) да, б) нет, в) 303.

Есть числа \(A\) и \(B\). Из них можно сделать числа \(A + 2\) и \(B - 1\) или \(A - 1\) и \(B + 2\), только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что \(A = 5\), \(B = 7\). a) Можно ли за \(50\) ходов создать пару, где одно из чисел равно \(100\)? б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна \(400\)? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали \(100\)?

а) Заметим, что при каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1. Действительно, рассмотрим каждое действие по отдельности. Если было \((A, B)\) и стало \((A + 2, B - 1)\), то сумма \(A + B\) стала равной \(A + 2 + B - 1 = A + B + 1\) Если было \((A, B)\) и стало \((A - 1, B + 2)\), то сумма \(A + B\) стала равной \(A - 1 + B + 2 = A + B + 1\) Значит, за 50 ходов сумма увеличится на 50, то есть будет равна \(5 + 7 + 50 = 62\) Так как числа всегда остаются натуральными, то при такой сумме ни одно из чисел не может равняться 100. Ответ: нет. б) Как было показано в пункте а), сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода. Начальная сумма чисел равна \(5 + 7 = 12\). Тогда для достижения искомой суммы понадобится количество ходов, равное \(400 - 12 = 388\) Эту сумму можно получить путём \(194\)-кратного применения следующего алгоритма: \((A, B) \to (A + 2, B - 1) \to (A + 1, B + 1)\) Ответ: 388 ходов. в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число». Изначально она равна \(B - A = 7 - 5 = 2\). Далее возможны два варианта. Первый вариант: \((A, B) \to (A + 2, B - 1)\). Тогда новая разность: \((B - 1) - (A + 2) = B - A - 3\) Второй вариант: \((A, B) \to (A - 1, B + 2)\). Тогда новая разность: \((B + 2) - (A - 1) = B - A + 3\) Числа \(B - A\), \(B - A - 3\) и \(B - A + 3\) имеют одинаковый остаток при делении на \(3\). То есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке) всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3. Изначально эта разность равна \(2\), то есть даёт остаток \(2\) при делении на \(3\). Приведем пример на \(187\) ходов, когда из чисел \((5, 7)\) сделаем пару \((100, 99)\) следующим образом: \((5, 7) \xrightarrow{\text{187 ходов}} (100, 99)\) Предположим, что ходов хотя бы 188. Тогда сумма чисел составит хотя бы \(5 + 7 + 188 = 200\) С учётом требуемого условия (получить \((100, 99)\)) это возможно, только если оба числа равны \(100\) и ходов было \(188\), но это невозможно, так как в таком случае разность чисел \(100 - 100 = 0\) не даёт остаток \(2\) при делении на \(3\). Получили противоречие. Следовательно, наибольшее число ходов равно \(187\). Ответ: а) Нет, нельзя б) \(388\) в) \(187\)

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину. a) Может ли Егор за \(4\) хода разделить линейку длиной в \(16\) см на части по \(1\) см? б) Может ли Егор за \(5\) ходов разделить линейку длиной в \(100\) см на части по \(1\) см? в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в \(300\) см на части по \(1\) см?

а) Да, Егор может за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см. Первым ходом он разделит линейку на две части по \(8\) см. Вторым ходом он отрежет от обеих частей по \(4\) см и получит четыре части по \(4\) см. Третьим ходом Егор отрежет от всех частей по \(2\) см и получит восемь частей по \(2\) см. Четвертым ходом он отрежет от всех частей по \(1\) см и получит требуемое. Ответ: да. б) Пусть у Егора в какой-то момент есть \(x\) частей линейки. Тогда после следующего действия у него будет не более \(2x\) частей (каждую часть можно разрезать не более чем на две). Таким образом, за ход Егор максимум может удвоить количество частей. Значит, за 5 ходов у Егора будет не более \(2^5 = 32\) частей. Но если линейка длиной в \(100\) см поделена на части по \(1\) см, то у Егора должно быть \(100\) частей. Так как \(100 > 32\), Егор не сможет за 5 ходов разделить линейку длиной в \(100\) см на части по \(1\) см. Ответ: нет. в) Из пункта б) следует, что Егору нужно хотя бы \(k\) ходов, где \(2^k \geq 300\). Так как \(2^8 = 256 < 300\), а \(2^9 = 512 \geq 300\), то минимальное возможное число ходов — 9. Приведем пример на \(9\) действий. Первым действием Егор отрежет часть длиной в \(44\) см и получит две части: \(256\) см и \(44\) см. Вторым действием Егор отрежет от части в \(256\) см часть длиной в \(128\) см и получит три части: две по \(128\) см и одну \(44\) см. Третьим действием Егор отрежет от частей в \(128\) см части длиной в \(64\) см и получит пять частей: четыре по \(64\) см и одну \(44\) см. Четвертым действием Егор отрежет от всех частей части длиной в \(32\) см и получит десять частей: девять по \(32\) см и одну \(12\) см. Пятым действием Егор отрежет от частей в \(32\) см часть длиной в \(16\) см и получит \(19\) частей: \(18\) по \(16\) см и одну \(12\) см. Шестым действием Егор отрежет от всех частей части длиной в \(8\) см и получит \(38\) частей: \(37\) по \(8\) см и одну \(4\) см. Седьмым действием Егор отрежет от частей в \(8\) см часть длиной в \(4\) см и получит \(75\) частей по \(4\) см. Восьмым действием Егор поделит каждую из \(75\) частей пополам и получит \(150\) частей по \(2\) см. Девятым действием Егор поделит каждую из \(150\) частей пополам и получит \(300\) частей по \(1\) см. Таким образом, за 9 ходов можно получить \(300\) частей по \(1\) см. Ответ: наименьшее число ходов — \(9\). Ответ: а) Да б) Нет в) \(9\)