Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Разные задачи

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $800-N$ по $5$ рублей. $N$ может принимать значения от $1$ до $799$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.

а) Может ли $N$ равняться $200$?

б) Может ли $N$ равняться $400$?

в) Сколько различных значений может принимать $N$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $2$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $128$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $25$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1198$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $7$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $6$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $8$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $8$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $124$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $50$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше $3210$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $4$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $5$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $5$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $224$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $30$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1801$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $4$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $3$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $222$ меньше суммы получившихся чисел
б) Может ли количество чисел на доске равняться $32$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна $0$, и сумма чисел на доске меньше $1509$?

На столе лежит $N$ монет по $5$ рублей и $1000-N$ по $2$ рубля. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться $100$?
б) Может ли $N$ равняться $500$?
в) Сколько различных значений может принимать $N$?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на $60$ больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных – на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $30$ штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

В продуктовом магазине есть весы с двумя чашами. На одну чашу весов кладут только продукты, на другую — гири. На чашу для гирь можно положить несколько гирь. Магазину разрешено продавать только целое число килограммов продуктов.
а) Можно ли некоторым набором из пяти гирь отвесить любое целое число килограммов от $1$ до $25$?
б) Можно ли некоторым набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от $1$ до $25$?
в) Найдите наибольшее значение $n$ такое, что любой вес от $1$ до $n$ килограммов можно отвесить каким-нибудь набором из пяти гирь.

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа $9{,}3$, $10{,}5$ и $12{,}7$ округляются до $9$, $11$ и $13$ соответственно.
а) Всего проголосовало $13$ посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным $31$. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше $100$?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен $7$. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен $9$. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры — прямоугольные параллелепипеды с размерами $1\times 1\times 3$ м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.
а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером $120$ кубометров нельзя?
б) Может ли оказаться, что на склад объемом $100$ кубометров не удастся поместить $33$ контейнера?
в) Пусть объем склада равен $800$ кубометрам. Какой процент объема такого склада удастся гарантированно заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Каждый из $28$ студентов написал или одну из двух контрольных работ, или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от $0$ до $20$ включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил $15$. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов. При этом если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее. Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S<15$.
б) Могло ли значение $S$ быть равным $5$?
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные писали только $10$ студентов?

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя. «Победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равный разности $100$ и суммы показателей «побед» и «ничьих». Например, число $13{,}2$ округляется до $13$, число $14{,}5$ округляется до $15$, число $16{,}8$ округляется до $17$.
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться $17$, если было сыграно менее $50$ партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» можетбыть равным $1$?

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка $[23;84]$. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на $1$ и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в $6$ раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

У Пети дома лежат по $100$ монет номинала $1$, $2$, $5$ и $10$ рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное.
а) Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до $100$ рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до $25$ рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более $100$ рублей?

Мужчина покупает капусту на ферме. Сосед попросил мужчину купить ему столько же капусты, сколько себе. На ферме продают кочаны капусты, которые весят $2$, $4$ или $6$ кг. Мужчина купил $N$ кг капусты.
а) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=20$?
б) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=48$?
в) Найдите все четные значения $N$, при которых всегда можно разделить капусту поровну, не разрезая ее.

Мужчина покупает капусту на ферме. Сосед попросил мужчину купить ему столько же капусты, сколько себе. На ферме продают кочаны капусты, которые весят $1$, $2$ или $3$ кг. Мужчина купил $N$ кг капусты.
а) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=20$?
б) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=24$?
в) Найдите все значения $N$, при которых всегда можно разделить капусту поровну, не разрезая ее.

Несколько камней, каждый из которых весит не менее $100$ г, разложили в три кучки. В первой кучке оказалось $n_1$ камней с суммарным весом $S_1$, во второй — $n_2$ камней с суммарным весом $S_2$, а в третьей — $n_3$ камней с суммарным весом $S_3$. Оказалось так, что $n_1<n_2<n_3$.
а) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$?
б) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$, а вес каждого камня не превышает $105$ грамм?
в) Вес каждого камня не более $k$ грамм. При каком минимальном целом $k$ могло оказаться, что $S_1>S_2>S_3$?

Несколько камней, каждый из которых весит не менее $100$ г, разложили в три кучки. В первой кучке оказалось $n_1$ камней с суммарным весом $S_1$, во второй — $n_2$ камней с суммарным весом $S_2$, а в третьей — $n_3$ камней с суммарным весом $S_3$. Оказалось так, что $n_1<n_2<n_3$.
а) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$?
б) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$, а вес каждого камня не превышает $105$ грамм?
в) Вес каждого камня не более $k$ грамм. При каком минимальном целом $k$ могло оказаться, что $S_1>S_2>S_3$?

Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть $328$ конфет?