Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Разные задачи

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$, или $12$ писем, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $7$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

Есть $4$ монеты весом по $3$ грамма и $13$ монет весом по $14$ граммов.
а) Можно ли разложить монеты на две кучки так, чтобы разность суммарных масс монет обеих кучек была равна $20$ граммов?
б) Можно ли разложить монеты на $2$ кучки так, чтобы сумма масс монет обеих кучек была одинаковой?
в) Какая минимальная положительная разность сумм масс монет может быть получена при разделении монет на две кучки?

Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все $p$, если $q=38$.
б) Найдите все $q$, если $q+2p=39$.
в) Найдите все корни уравнения, если $q^3-p^3=1343$.

Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все $p$, если $q=36$.
б) Найдите все $q$, если $q+2p=37$.
в) Найдите все корни уравнения, если $q^3-p^3=3887$.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке $-50$, если Митя $30$ раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-50$?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-57$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке $0$, если Митя $45$ раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-35$?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-42$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Каждый год в соревнованиях, состоящих из $10$ этапов, участвует $10$ спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам $10$ этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-$1$ количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-$2$ — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-$1$ был выше рейтинга спортсмена-$2$ в следующих случаях:
— $a_1>a_2$,
— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,
— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл $Q$ для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования ($10$ этапов) с участием $10$ спортсменов, где каждому из них будут присваиваться $10a+k_1b+k_2c$ очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения $k_1$ и $k_2$, такие, что $1\le k_2<k_1\le 9$. Найдите все пары $(k_1;k_2)$, при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла $Q$.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из $10$ этапов, участвует $10$ спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам $10$ этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-$1$ количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-$2$ — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-$1$ был выше рейтинга спортсмена-$2$ в следующих случаях:
— $a_1>a_2$,
— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,
— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше $p$. Найдите наибольшее возможное значение $p$.
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.

Есть $2$ камня, каждый массой $100$ тонн, $6$ камней, каждый массой $20$ тонн, и $4$ камня, каждый массой $4$ тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на $12$ тонн больше суммарной массы второй группы, но на $12$ тонн меньше суммарной массы третьей группы?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ так, что $m_1\ge m_2\ge m_3$. Найдите наименьшее такое число $d$, что $m_1-m_2\le d$ и $m_2-m_3\le d$.

Есть $4$ камня, каждый массой $100$ тонн, $5$ камней, каждый массой $25$ тонн, и $6$ камней, каждый массой $4$ тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на $50$ тонн больше суммарной массы второй группы, но на $50$ тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ так, что $m_1\ge m_2\ge m_3$. Найдите наименьшее такое число $d$, что $m_1-m_2\le d$ и $m_2-m_3\le d$.

Есть три коробки: в первой коробке $112$ камней, во второй — $99$, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться $103$ камня, во второй — $99$, а в третьей — $9$?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться $211$ камней?
в) Во второй коробке оказалось $4$ камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Есть три коробки: в первой коробке $95$ камней, во второй — $104$, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в третьей коробке оказаться $199$ камней?
б) Могло ли в первой коробке оказаться $100$ камней, во второй — $50$, а в третьей — $49$?
в) Во второй коробке оказалось $2$ камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k=nm+q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q<m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}2$ кг легче детали старого типа, причём из $63$ кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из $64$ кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $15$ новых деталей будет достаточно $63$ кг материала, а на $16$ — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $40$ новых деталей будет достаточно $63$ кг материала, а на $41$ — уже нет?
в) Найдите такое минимальное число $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из $80$ кг материала, а $n-1$ деталь не сможет, не нарушая условия $q<m$.

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k=nm+q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q<m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}1$ кг легче детали старого типа, причём из $18$ кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из $21$ кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $50$ новых деталей будет достаточно $18$ кг материала, а на $51$ — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $32$ новых деталей будет достаточно $18$ кг материала, а на $33$ — уже нет?
в) Найдите все такие числа $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из $10$ кг материала, не нарушая условия $q<m$.

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $(1200-N )$ монет по $5$ рублей ($N$ – натуральное число от $1$ до $1199$). Оказалось, что если взять любые $500$ монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли $N$ равняться $400$?
б) Может ли $N$ равняться $600$?
в) Сколько различных значений может принимать число $N$?

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-32$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных – на $8$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?
б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$ (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-30$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $40$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
$-40$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $30$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на \(5\), а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше \(-120\). Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на \(90\) больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше$-80$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно $200$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно $150$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $50$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
$-72$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $50$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$ (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно $100$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $1000-N$ по $5$ рублей. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться $100$?
б) Может ли $N$ равняться $500$?
в) Сколько различных значений может принимать $N$?