Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Операции с числами и цифрами

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A> 140$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $440 \leqslant A< 500$?

в) Найдите наибольшее число $A$, меньшее $900$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры $1$ и $6$(возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $173$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $109$?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $1021$?

На доске написано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $6055$.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число $625$?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $47$?
в) Отношение двух написанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске написано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $6033$.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число $603$?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $43$?
в) Отношение двух написанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в $n$ раз.
а) Может ли $n$ быть равно $15$?
б) Может ли $n$ быть равно $50$?
в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение $n$.

На доске написаны четыре различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в $n$ раз.
а) Может ли $n$ быть равно $17$?
б) Может ли $n$ быть равно $40$?
в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение $n$.

Есть $4$ монеты весом по $3$ грамма и $15$ монет весом по $20$ граммов.
а) Можно ли разложить монеты на две кучки так, чтобы разность суммарных масс монет обеих кучек была равна $14$ граммов?
б) Можно ли разложить монеты на $2$ кучки так, чтобы сумма масс монет обеих кучек была одинаковой?
в) Какая минимальная положительная разность сумм масс монет может быть получена при разделении монет на две кучки?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $385$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли $N$ равняться $200$?
б) Может ли $N$ равняться $129$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $330$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а суммы любых двух и любых трёх идущих подряд чисел чётны.
а) Может ли $N$ равняться $180$?
б) Может ли $N$ равняться $103$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

а) Можно ли число $2025$ представить в виде суммы пяти последовательных нечётных натуральных чисел?
б) Можно ли число $2025$ представить в виде суммы семи последовательных нечётных натуральных чисел?
в) Какое наибольшее количество последовательных нечётных натуральных чисел в сумме дают $2025$?

а) Можно ли число $2028$ представить в виде суммы четырёх последовательных чётных натуральных чисел?
б) Можно ли число $2028$ представить в виде суммы пяти последовательных чётных натуральных чисел?
в) Какое наибольшее количество последовательных чётных натуральных чисел в сумме дают $2028$?

На доске написано $40$ натуральных чисел. Какие-то из них красные, какие-то — синие. Все красные числа чётные, а синие кратны $7$. Все красные числа отличны друг от друга, все синие числа также отличны друг от друга. Однако некоторые красные и синие числа могут быть одинаковыми.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше $1640$?
б) Может ли на доске быть только одно синее число, если сумма всех записанных на доске чисел равна $1387$?
в) Какое наибольшее количество синих чисел может быть записано на доске, если сумма всех чисел, записанных на доске, равна $1387$?

На доске написано некоторое натуральное число. Над числом проводят следующее действие: вместо двух цифр справа записывают сумму этих цифр. Повторяя это действие, из данного числа получают однозначное число. Например, из числа $2058$ последовательно получаем $2013$, $204$, $24$, $6$.
а) Можно ли из четырёхзначного числа $\overline{abab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $5$?
б) Можно ли из шестизначного числа $\overline{ababab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $5$?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно преобразовать в число $8$?

На доске написано некоторое натуральное число. Над числом проводят следующее действие: вместо двух цифр справа записывают сумму этих цифр. Повторяя это действие, из данного числа получают однозначное число. Например, из числа $2058$ последовательно получаем $2013$, $204$, $24$, $6$.
а) Можно ли из четырёхзначного числа $\overline{abab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $7$?
б) Можно ли из шестизначного числа $\overline{ababab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $7$?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно преобразовать в число $8$?

Натуральное число, представимое в виде $\dfrac{1}{2}n(n+1)$, где $n\in\mathbb{N}$, называется треугольным. Рассмотрим треугольные числа, в записи которых нет цифры $9$, таких что если каждую цифру числа увеличить на $1$, то полученное число также является треугольным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трёхзначные числа?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа.

Натуральное число, представимое в виде $k^2$, где $k\in\mathbb{N}$, называется квадратным. Рассмотрим квадратные числа, в записи которых нет цифры $9$, таких что если каждую цифру числа увеличить на $1$, то полученное число также является квадратным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трёхзначные числа?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.
а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$?
б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$?
в) Найдите наибольшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.
а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в пять раз больше произведения $abc$?
б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в $120$ раз больше произведения $abc$?
в) Найдите наименьшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?
в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $12$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой сумме цифр первого, а третье равно учетверённой сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?
в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $16$.

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\ne0$.
а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $3$ раза?
б) Цифры $a$, $b$, $c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a\cdot b\cdot c\cdot d>a+b+c+d$?
в) Известно, что $a\cdot b\cdot c\cdot d=k(a+b+c+d)$, где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\ne0$.
а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $5$ раз?
б) Цифры $a$, $b$, $c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a\cdot b\cdot c\cdot d>a+b+c+d$?
в) Известно, что $a\cdot b\cdot c\cdot d=k(a+b+c+d)$, где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: $206$, $835$, $930$.
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: $247$, $345$, $586$, $812$?
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от $1$ до $50$, вычеркивая цифры.

На доске написано $24$ числа: восемь «$5$», восемь «$4$» и восемь «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $12$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Из первых $22$ натуральных чисел $1$, $2$, $\ldots$, $22$ выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят $27$.
а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется $170$ и в каждой паре одно из чисел ровно в трираза больше другого?
б) Может ли число $k$ быть равным $11$?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$.