Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства, Операции с числами и цифрами

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа $123456789$ так, чтобы получилось число, кратное $72$?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа $846927531$ так, чтобы получилось число, кратное $72$?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа $124875963$ так, чтобы получилось число, кратное $72$?

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр. Например, из числа $194$ получается число $1109134$.
а) Приведите пример числа, из которого получается число $176148179$.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $3107611090$?
в) Какое наибольшее число, кратное $11$, может получиться из трехзначного числа?

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $194$ получается число $1109134$).
а) Приведите пример числа, из которого получается число $411781109$.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $210811495$?
в) Какое наибольшее число, кратное $9$, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в $3$ раза.
а) Может ли на доске быть написано $5$ чисел, сумма которых равна $47$?
б) Может ли на доске быть написано $10$ чисел, сумма которых равна $94$?
в) Сколько чисел может быть написано на доске, если их произведение равно $8000$?

На доске написаны числа $1$, $2$, $3$,$\ldots$, $30$. За один ход разрешается стереть три числа, сумма которых меньше $35$ и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример $5$ ходов.
б) Можно ли сделать $10$ ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

На доске написаны числа $2$ и $3$. За один ход из чисел $a$ и $b$ можно получить числа $a+b$ и $2a-1$ или числа $a+b$ и $2b-1$. Например, из чисел $2$ и $3$ можно получить числа $5$ и $3$ или числа $5$ и $5$.
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел на доске окажется равным $19$.
б) Может ли после $100$ ходов одно из двух чисел на доске оказаться равным $200$?
в) Сделали $1007$ ходов, причем на доске не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из двух полученных чисел?

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество $\{100;101;102;\ldots;199\}$ хорошим?
б) Является ли множество $\{2;4;8;\ldots;2^{200}\}$ хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ${3;4;5;6;8;10;12}$?

Ученики некоторой школы написали тест. Результатом каждого участника стало целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее $83$ баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по $5$ баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился и средний балл сдавших тестучеников понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил $90$, средний балл сдавших тест учеников составил $100$, а средний балл не сдавших тест учеников составил $75$. После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен $103$, а не сдавших — $79$. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Имеются контейнеры массой в $2$ тонны и $7$ тонн и корабли грузоподъемностью в $10$ тонн.
а) Можно ли $11$ контейнеров массой $7$ тонн и $22$ контейнера массой $2$ тонны погрузить на $14$ кораблей?
б) Можно ли $11$ контейнеров массой $7$ тонн и $17$ контейнеров массой $2$ тонны погрузить на $12$ кораблей?
в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки $11$ контейнеров массой $7$ тонн и $77$ контейнеров массой $2$ тонны?

Имеются контейнеры массой в $2$ тонны и $7$ тонн и корабли с грузоподъемностью в $10$ тонн.
а) Можно ли $12$ контейнеров массой $7$ тонн и $24$ контейнера массой $2$ тонны погрузить на $15$ кораблей?
б) Можно ли $12$ контейнеров массой $7$ тонн и $18$ контейнеров массой $2$ тонны погрузить на $13$ кораблей?
в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки $12$ контейнеров массой $7$ тонн и $47$ контейнеров массой $2$ тонны?

На доске написано $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $99$. Для любых двух написанных на доске чисел $a$ и $b$ таких, что $a<b$, ни одно из написанных чисел не делится на $b-a$ и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $b-a$.
а) Могут ли быть написаны на доске какие-то два из чисел $18$, $19$ и $20$ ?
б) Среди написанных на доске чисел есть $17$. Может ли $N$ быть равным $25$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.
а) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1105$?
б) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1106$?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение $A \cdot S$, если оно больше $1503$?

В последовательности из $80$ целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны $0$.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным $20$?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

На доске написано $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $99$. Для любых двух написанных на доске чисел $a$ и $b$ таких, что $a<b$, ни одно из написанных чисел не делится на $b-a$ и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $b-a$.
а) Могут ли быть написаны на доске какие-то два из чисел $18$, $19$ и $20$ ?
б) Среди написанных на доске чисел есть $17$. Может ли $N$ быть равным $25$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.
а) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1105$?
б) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1106$?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение $A \cdot S$, если оно больше $1503$?