Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства

Ученики некоторой школы написали тест. Результатом каждого участника стало целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее $83$ баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по $5$ баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился и средний балл сдавших тестучеников понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил $90$, средний балл сдавших тест учеников составил $100$, а средний балл не сдавших тест учеников составил $75$. После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен $103$, а не сдавших — $79$. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна $99$?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна $9$. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно $6{,}5$. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

У Пети дома лежат по $100$ монет номинала $1$, $2$, $5$ и $10$ рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное.
а) Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до $100$ рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до $25$ рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более $100$ рублей?

Мужчина покупает капусту на ферме. Сосед попросил мужчину купить ему столько же капусты, сколько себе. На ферме продают кочаны капусты, которые весят $2$, $4$ или $6$ кг. Мужчина купил $N$ кг капусты.
а) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=20$?
б) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=48$?
в) Найдите все четные значения $N$, при которых всегда можно разделить капусту поровну, не разрезая ее.

Мужчина покупает капусту на ферме. Сосед попросил мужчину купить ему столько же капусты, сколько себе. На ферме продают кочаны капусты, которые весят $1$, $2$ или $3$ кг. Мужчина купил $N$ кг капусты.
а) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=20$?
б) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N=24$?
в) Найдите все значения $N$, при которых всегда можно разделить капусту поровну, не разрезая ее.

Имеются контейнеры массой в $2$ тонны и $7$ тонн и корабли грузоподъемностью в $10$ тонн.
а) Можно ли $11$ контейнеров массой $7$ тонн и $22$ контейнера массой $2$ тонны погрузить на $14$ кораблей?
б) Можно ли $11$ контейнеров массой $7$ тонн и $17$ контейнеров массой $2$ тонны погрузить на $12$ кораблей?
в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки $11$ контейнеров массой $7$ тонн и $77$ контейнеров массой $2$ тонны?

Имеются контейнеры массой в $2$ тонны и $7$ тонн и корабли с грузоподъемностью в $10$ тонн.
а) Можно ли $12$ контейнеров массой $7$ тонн и $24$ контейнера массой $2$ тонны погрузить на $15$ кораблей?
б) Можно ли $12$ контейнеров массой $7$ тонн и $18$ контейнеров массой $2$ тонны погрузить на $13$ кораблей?
в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки $12$ контейнеров массой $7$ тонн и $47$ контейнеров массой $2$ тонны?

На доске написано $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $99$. Для любых двух написанных на доске чисел $a$ и $b$ таких, что $a<b$, ни одно из написанных чисел не делится на $b-a$ и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $b-a$.
а) Могут ли быть написаны на доске какие-то два из чисел $18$, $19$ и $20$ ?
б) Среди написанных на доске чисел есть $17$. Может ли $N$ быть равным $25$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

Несколько камней, каждый из которых весит не менее $100$ г, разложили в три кучки. В первой кучке оказалось $n_1$ камней с суммарным весом $S_1$, во второй — $n_2$ камней с суммарным весом $S_2$, а в третьей — $n_3$ камней с суммарным весом $S_3$. Оказалось так, что $n_1<n_2<n_3$.
а) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$?
б) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$, а вес каждого камня не превышает $105$ грамм?
в) Вес каждого камня не более $k$ грамм. При каком минимальном целом $k$ могло оказаться, что $S_1>S_2>S_3$?

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.
а) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1105$?
б) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1106$?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение $A \cdot S$, если оно больше $1503$?

В последовательности из $80$ целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны $0$.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным $20$?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен $128$. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число $686$ являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число $496$ являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

На доске написано $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $99$. Для любых двух написанных на доске чисел $a$ и $b$ таких, что $a<b$, ни одно из написанных чисел не делится на $b-a$ и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $b-a$.
а) Могут ли быть написаны на доске какие-то два из чисел $18$, $19$ и $20$ ?
б) Среди написанных на доске чисел есть $17$. Может ли $N$ быть равным $25$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

Несколько камней, каждый из которых весит не менее $100$ г, разложили в три кучки. В первой кучке оказалось $n_1$ камней с суммарным весом $S_1$, во второй — $n_2$ камней с суммарным весом $S_2$, а в третьей — $n_3$ камней с суммарным весом $S_3$. Оказалось так, что $n_1<n_2<n_3$.
а) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$?
б) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$, а вес каждого камня не превышает $105$ грамм?
в) Вес каждого камня не более $k$ грамм. При каком минимальном целом $k$ могло оказаться, что $S_1>S_2>S_3$?

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.
а) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1105$?
б) Может ли выполняться равенство $A \cdot S=1106$?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение $A \cdot S$, если оно больше $1503$?

В последовательности из $80$ целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны $0$.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным $20$?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен $128$. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число $686$ являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число $496$ являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть $328$ конфет?

Есть синие и красные карточки. Всего карточек $50$ штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно $16$. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое число на красной. Числа на синих карточках увеличили в $2$ раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно $31{,}2$.
а) Может ли быть $10$ синих карточек?
б) Может ли быть $10$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от $0$ до $12$ включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{25}$?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{35}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $(n \ge 3)$.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $14$?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $900$?
в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $123$.

Натуральные числа от $1$ до $12$ разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные $6$ чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Каждое из чисел $1,-2,-3, 4,-5, 7,-8, 9, 10,-11$ по одному записывают на $10$ карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел $1,-2,-3, 4,-5, 7,-8, 9, 10,-11$. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные $10$ сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Последовательность $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($n\geqslant3$) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних справа и слева членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна $60$.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n=8$?