Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства

Саша проходит онлайн-курс английского языка в приложении на смартфоне. За прохождение каждого урока он может получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора смартфона уменьшается на $3\%$ при получении $3$ звёзд, на $6\%$ — при получении $2$ звёзд, на $9\%$ — при получении $1$ звезды (все проценты рассчитываются от максимального заряда). Саша прошёл несколько уроков.
а) Мог ли заряд смартфона уменьшиться ровно на $17\%$?
б) Сколько уроков было пройдено, если заряд смартфона уменьшился на $30\%$ и суммарно было получено $10$ звёзд?
в) За прохождение уроков начисляются призовые баллы: $5000$ баллов за $1$ звезду, $7000$ баллов за $2$ звезды, $10\,000$ баллов за $3$ звезды. Какое наибольшее количество баллов мог получить Саша, если заряд смартфона уменьшился на $30\%$ и суммарно было получено $10$ звёзд?

Лёша проходит онлайн-курс английского языка в приложении на смартфоне. За прохождение каждого урока он может получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора смартфона уменьшается на $3\%$ при получении $3$ звёзд, на $6\%$ — при получении $2$ звёзд, на $9\%$ — при получении $1$ звезды (все проценты рассчитываются от максимального заряда). Лёша прошёл несколько уроков.
а) Мог ли заряд смартфона уменьшиться ровно на $65\%$?
б) Сколько уроков было пройдено, если заряд смартфона уменьшился на $42\%$ и суммарно было получено $14$ звёзд?
в) За прохождение уроков начисляются призовые баллы: $4000$ баллов за $1$ звезду, $6000$ баллов за $2$ звезды, $8000$ баллов за $3$ звезды. Какое наибольшее количество баллов мог получить Лёша, если заряд смартфона уменьшился на $42\%$ и суммарно было получено $14$ звёзд?

На доске записано $12$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно $9$, а среднее арифметическое семи наибольших равно $19$.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться $7$?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться $15$?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех этих чисел.

На доске записано $12$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно $8$, а среднее арифметическое семи наибольших равно $16$.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться $6$?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться $13$?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех этих чисел.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $3$ письма, или $20$ писем, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $5$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $6$ писем, или $21$ письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $7$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

На доске написано $40$ натуральных чисел. Какие-то из них красные, какие-то — синие. Все красные числа чётные, а синие кратны $7$. Все красные числа отличны друг от друга, все синие числа также отличны друг от друга. Однако некоторые красные и синие числа могут быть одинаковыми.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше $1640$?
б) Может ли на доске быть только одно синее число, если сумма всех записанных на доске чисел равна $1387$?
в) Какое наибольшее количество синих чисел может быть записано на доске, если сумма всех чисел, записанных на доске, равна $1387$?

Последовательность $a_1,a_2,\ldots,a_9$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1=2$, $M_2=3$.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=3$.
б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=4$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $M_3$.

Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все $p$, если $q=38$.
б) Найдите все $q$, если $q+2p=39$.
в) Найдите все корни уравнения, если $q^3-p^3=1343$.

Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все $p$, если $q=36$.
б) Найдите все $q$, если $q+2p=37$.
в) Найдите все корни уравнения, если $q^3-p^3=3887$.

На доске написано некоторое натуральное число. Над числом проводят следующее действие: вместо двух цифр справа записывают сумму этих цифр. Повторяя это действие, из данного числа получают однозначное число. Например, из числа $2058$ последовательно получаем $2013$, $204$, $24$, $6$.
а) Можно ли из четырёхзначного числа $\overline{abab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $5$?
б) Можно ли из шестизначного числа $\overline{ababab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $5$?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно преобразовать в число $8$?

На доске написано некоторое натуральное число. Над числом проводят следующее действие: вместо двух цифр справа записывают сумму этих цифр. Повторяя это действие, из данного числа получают однозначное число. Например, из числа $2058$ последовательно получаем $2013$, $204$, $24$, $6$.
а) Можно ли из четырёхзначного числа $\overline{abab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $7$?
б) Можно ли из шестизначного числа $\overline{ababab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $7$?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно преобразовать в число $8$?

Натуральное число, представимое в виде $\dfrac{1}{2}n(n+1)$, где $n\in\mathbb{N}$, называется треугольным. Рассмотрим треугольные числа, в записи которых нет цифры $9$, таких что если каждую цифру числа увеличить на $1$, то полученное число также является треугольным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трёхзначные числа?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа.

Натуральное число, представимое в виде $k^2$, где $k\in\mathbb{N}$, называется квадратным. Рассмотрим квадратные числа, в записи которых нет цифры $9$, таких что если каждую цифру числа увеличить на $1$, то полученное число также является квадратным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трёхзначные числа?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа.

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется $k$ кляссеров, причём $7$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+3$ кляссеров и также $7$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше $160$, но меньше $170$ ячеек, а в маленьком — больше $100$, но меньше $120$ ячеек.
а) Может ли $k$ быть равно $4$?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Для набора $50$ различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число $-300$?
б) Может ли одним из этих чисел быть число $300$?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.
а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$?
б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$?
в) Найдите наибольшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.
а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в пять раз больше произведения $abc$?
б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в $120$ раз больше произведения $abc$?
в) Найдите наименьшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?
в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $12$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой сумме цифр первого, а третье равно учетверённой сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?
в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $16$.

Коля записал на доске $20$ различных натуральных чисел, каждое из которых меньше $1000$. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно $625$.
а) Может ли на доске быть записано число $10816$?
б) Может ли на доске быть записано число $93636$?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?

Коля записал на доске $15$ различных натуральных чисел, каждое из которых меньше $5000$. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно $2401$.
а) Может ли на доске быть записано число $10816$?
б) Может ли на доске быть записано число $40401$?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке $-50$, если Митя $30$ раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-50$?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-57$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке $0$, если Митя $45$ раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-35$?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-42$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Есть $60$ карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше $1$. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на $3$ — красную, если на $4$ — синюю, если на $5$ — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше $200$?
б) Получилось, что на $20$ карточках есть синяя и зелёная отметки, на $20$ карточках есть синяя и красная отметки, на $20$ карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на $45$ карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.