Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства

а) Можно ли представить число $2043$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число $599$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе $№\,1$ вырасти в $2$ раза?
б) Средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№\,2$ равняться $1$?
в) Средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№\,2$.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,2$ средний балл равнялся $42$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?
б) Каждый учащийся школы $№\,2$, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы $№\,1$. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы $№\,2$?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $25\%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $20\%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $60\%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $21\%$.
а) Может ли в этом классе быть $5$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S - B$.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $6$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $2$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $5$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $403$ и $2013$?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число $403$?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $1$ и квадрат натурального числа $n$, большего $1$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $60$ и меньше $140$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано $100$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $5120$.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число $230$?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа $14$?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных $14$, может быть на доске?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 60$?

б) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 80$?

в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму $132$?

На доске написано $30$ натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно $3$, а каждое красное число кратно $7$. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395 = 3 + 6 +$... $+ 90$, если все числа на доске кратны $3$?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна $1067$?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна $1067$?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $365$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным $200$?

б) Может ли $N$ быть равным $109$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от $1$ до $12$. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна $32$.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна $29$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, $40$, $45$, $50$ удачная тройка.

а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50$, $60$ и ещё одно число, большее $60$?

б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?

в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1001$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение семи дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение восьми дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $40$ фотографий?

Есть $4$ камня, каждый массой $7$ тонн, и $9$ камней, каждый массой $22$ тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила $8$ тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Есть $16$ монет по $2$ рубля и $29$ монет по $5$ рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму $175$ рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму $176$ рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по $1$ рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от $1$ рубля до $180$ рублей включительно?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$ писем, или $16$ писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно $7$ писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на $20$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на $21$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на $15$?

в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k$.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $300$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $151$?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от $100$ до $600$ включительно?

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $300$ см на куски длиной $1$ см?

Есть три коробки: в первой коробке $64$ камня, во второй — $77$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $64$ камня, во второй — $59$, а в третьей — $18$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $141$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке? $325$

Есть четыре коробки: в первой коробке $101$ камень, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой — $4$?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться $306$ камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?