Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.  
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $403$ и $2013$?  
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число $403$?  
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n$, большего $1$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a + b; a - b)$.
a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$?
в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $2376$.
В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число $17$ заменили на число $71$.
a) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $6$ раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $21\%$.
a) Может ли в этом классе быть $5$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Есть числа $A$ и $B$. Из них можно сделать числа $A + 2$ и $B - 1$ или $A - 1$ и $B + 2$, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что $A = 5$, $B = 7$.
a) Можно ли за $50$ ходов создать пару, где одно из чисел равно $100$?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна $400$?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали $100$?

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Серёжа переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Серёжа) и получил двузначное число $C$.
a) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A > 150$?
б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leq A < 600$?
в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
a) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?
б) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.
a) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.
a) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на $6$?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть на доске?

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём $5$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+2$ кляссеров и также $5$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше $150$, но меньше $160$ ячеек, а в маленьком — больше $100$, но меньше $120$ ячеек.
a) Может ли $k$ быть равно $3$?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?
* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Для набора $60$ различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.
a) Может ли одним из этих чисел быть число $-400$?
б) Может ли одним из этих чисел быть число $400$?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$ за один ход можно получить пару $(a + 2; b - 1)$ или $(a - 1; b + 2)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(5; 7)$.

а) Можно ли за $50$ таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно $100$?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна $400$?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили $100$?

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a> b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно $400$?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$? в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $200$ см на куски длиной $1$ см?

Из правильной несократимой дроби $\dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\dfrac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\dfrac{2}{3}$ получить дробь $\dfrac{29}{41}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\dfrac{6}{7}$?

в) Несократимая дробь $\dfrac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\dfrac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a + b; 3b - a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a - c| + |b - d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Есть три коробки: в первой коробке $97$ камней, во второй — $104$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $89$, а в третьей — $15$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $201$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на $6$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть на доске?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $1$, к каждому числу из второй группы — цифру $8$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $4$ раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $18$ раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в $11$ раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S$.

а) Может ли $S$ быть равной $16 \dfrac{5}{6}$?

б) Может ли $S$ быть равной $569 \dfrac{29}{126}$?

в) Найдите наибольшее целое значение $S$, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 200$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 320$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $340$ является суммой $S$ для некоторых четырехзначных чисел $A$ и $B$?

Из набора цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $5$, $7$ и $9$ составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны $45$.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться $2205$?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться $3435$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре? $144$

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A> 150$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leqslant A< 600$?

в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры $4$ и $9$ (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $107$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $289$?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $3986$?