Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача

На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке $M$. Точка $Q$ лежит на меньшей дуге $MB$ окружности с диаметром $BC$. Прямая $CQ$ второй раз пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $P$.
а) Докажите, что прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны.
б) Найдите $PQ$, если $AM=1$, $BM=3$, а $Q$ — середина дуги $MB$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.
б) Найдите отношение $EH:AC$, если угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$, перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудаленной от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=16$.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ – в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $3$ и $4$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведена прямая $MK$, пересекающая обе окружности в точках $M$ и $K$, причем точка $A$ находится между ними.
а) Докажите, что треугольники $BMK$ и $O_1AO_2$ подобны.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $MK$, если $O_1O_2=5$, $MK=7$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=20$ и $BC=15$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=20$ и $BC=15$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
а) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM = BP$, $AB = BQ$.  
а) Докажите, что $BM = PQ$.  
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 8$, $AB = BQ = 10$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
a) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ$, $\angle NKL = \angle KLM = 120^\circ$.
a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = 3$.

Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$. В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP$. Известно, что $AB = BQ$.
a) Докажите, что $BM = PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 21$, $AB = BQ = 29$.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) проведена высота \( CH \) из вершины прямого угла, \( AM \) и \( CN \) — биссектрисы треугольников \( ACH \) и \( BCH \) соответственно.

а) Докажите, что прямые \( AM \) и \( CN \) перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка \( MN \), если \( BC = 26 \) и \( \sin \angle ABC = \dfrac{4}{9} \).

Сумма оснований трапеции равна $17$, а её диагонали равны $8$ и $15$.
a) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дан ромб $ABCD$. Точки $K$ и $P$ — середины сторон $DC$ и $BC$ соответственно. Проведены $AK$ и $AP$ таким образом, что они пересекают диагональ $BD$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.
a) Докажите, что сумма площадей треугольников $DKT$ и $QBP$ равна площади треугольника $AQT$.
б) Известно, что в $TKCQP$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $12\sqrt{5}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
a) Докажите, что $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB = 6$, $BC = 4$, $AC = 5$.

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 21 : 10$, $BA_1 : A_1C = 2 : 3$, $AB_1 : B_1C = 2 : 5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
a) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 63$, $BC = 25$.

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.
a) Докажите, что $BN = (\sqrt{2} - 1)R$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $BNOG$, если $R = 6$.

Точка $M$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$, $DB = DM$.
a) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}75$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что в четырёхугольник $ABPD$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB = 4$.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$ — медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ — в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC=1$, а $AC=5$.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.
б) Найдите отношение $AM:MC$, если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$ соответственно.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB=6$, $BC=4$, $AC=5$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.
а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK$.
б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD:DC=5:2$.