Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является биссектрисой угла $OBH$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если высота, биссектриса и медиана, проведённые к стороне $AC$, равны $\dfrac{5\sqrt{7}}{4}$, $\dfrac{10}{3}$ и $\dfrac{\sqrt{46}}{2}$ соответственно.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является биссектрисой угла $OBH$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $\angle B=90^\circ$, высота $BH=\dfrac{120}{13}$ и биссектриса $BL=\dfrac{120\sqrt{2}}{17}$.

В ромб $ABCD$ вписана окружность, которая делит его большую диагональ $AC$ на три части в отношении $AM:MN:NC=1:3:1$.

а) Докажите, что эта окружность делит меньшую диагональ $BD$ ромба в отношении $BF:FG:GD=1:8:1$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $ABFM$, если радиус окружности равен $6$.

В ромб $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, которая делит его большую диагональ $AC$ на три части в отношении $AM:MN:NC=4:5:4$.

а) Докажите, что эта окружность делит меньшую диагональ $BD$ ромба в отношении $BF:FG:GD=1:24:1$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $BOMK$, если радиус окружности равен $5$.

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $\angle ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.
а) Докажите, что $BG=(\sqrt{2}-1)R$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BNOG$, если $R=6$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $M$ такую, что $BM:MC=2:3$, $DB=DM$.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}8$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что около четырёхугольника $ABPD$ можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=\sqrt{10}$.

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:4$.
а) Докажите, что $r=0{,}4\cdot CD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=30$.

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:9$.
а) Докажите, что $r=0{,}3\cdot CD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=20$.

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $60^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AB=DE$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $DEPN$, если $R=7\sqrt{3}$.

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $120^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AD=3BC$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите $PN$, если $R=13$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{5}$, $AC=8\sqrt{3}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=1:2$.
а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.
б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $BAE$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt{15}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=2:1$.
а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.
б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BAE$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если известно, что $FP=12$ и $PK=5$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите площадь ромба $ABCD$, если известно, что $FP=6$ и $PK=8$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $ADE$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle ADC=110^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.
а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.
б) Найдите $AC:AP$, если $BC:AB=2{,}5$.

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.
а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.
б) Найдите $AC:AP$, если $AB:BC=3:8$.

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $28$, $\angle BAC=120^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $24$, $\angle BAC=60^\circ$.

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=\sqrt{3}$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{12}$.

Прямая, перпендикулярная стороне $AB$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $K$, а диагональ $BD$ — в точке $L$, причём $AK:KC=1:3$, $BL:LD=2:1$.
а) Докажите, что прямая $KL$ делит сторону ромба $AB$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $KL=6$.